¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de un círculo que pasa por (0, -14), (-12, -14) y (0,0)?

Responder:

Un circulo de radio #sqrt (85) # y centro #(-6,-7)#

La ecuación de forma estándar es: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

O, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Explicación:

La ecuación cartesiana de un círculo con centro. # (a, b) # y radio # r # es:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Si el círculo pasa por (0, -14) entonces:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Si el círculo pasa por (0, -14) entonces:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Si el círculo pasa por (0,0) entonces:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Ahora tenemos 3 ecuaciones en 3 incógnitas

Eq 2 - Eq 1 da:

# (12 + a) ^ 2 -a ^ 2 = 0 #

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

Subs # a = 6 # en la ecuación 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

Subs # a = 6 # y # r ^ 2 = 36 + b ^ 2 #en la ecuación 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

Y finalmente, Subs. # b = -7 # en la ecuación 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

Y así, la ecuación del círculo es.

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Que representa un círculo de radio. #sqrt (85) # y centro #(-6,-7)#

Podemos multiplicar si es necesario para obtener:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14y + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #