Supongamos que no tengo una fórmula para g (x) pero sé que g (1) = 3 y g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) para todas las x. ¿Cómo uso una aproximación lineal para estimar g (0.9) y g (1.1)?

Aguarde un poco, pero involucra la ecuación de pendiente-intersección de una línea basada en la primera derivada … Y me gustaría guiarlo hacia el camino a hacer la respuesta, no solo dar tu la respuesta …

De acuerdo, antes de llegar a la respuesta, te contaré sobre la discusión (algo) humorística que mi compañero de oficina y yo tuvimos …

Yo: "De acuerdo, waitasec … No sabes g (x), pero sabes que la derivada es verdadera para todas (x) … ¿Por qué quieres hacer una interpretación lineal basada en la derivada? Solo toma la integral de la derivada, y usted tiene la fórmula original … ¿Verdad?

OM: "espera, ¿qué?" lee la pregunta de arriba "Santo Moly, ¡no he hecho esto en años!"

Entonces, esto nos lleva a una discusión entre nosotros acerca de cómo integrar esto, pero lo que el profesor realmente quiere (probablemente) es no hacer que hagas la operación inversa (que en algunos casos puede ser De Verdad DURO), pero para entender qué La primera derivada en realidad es.

Así que nos rascamos la cabeza y reflexionamos sobre nuestros recuerdos colectivos agregados por edad, y finalmente acordamos que la segunda derivada es el máximo / mínimo local, y la primera derivada (la que te interesa) es la cuesta abajo de la curva en el punto dado.

Bueno, ¿qué tiene esto que ver con el precio de los gusanos en México? Bueno, si asumimos que la pendiente permanece relativamente constante para todos los puntos "cercanos" (para saber esto, debe mirar la curva y usar el buen juicio en base a lo que sabe sobre las cosas, pero dado que esto es lo que hace su profesor). quiere, esto es lo que él obtiene!), entonces podemos hacer una interpolación lineal, ¡que es exactamente lo que pediste!

Muy bien, entonces - la carne de la respuesta:

La pendiente (m) de la función en nuestro valor conocido es:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Por lo tanto, la pendiente en el punto conocido (x = 1) es:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Recuerde, entonces, que la fórmula para una línea (necesaria para la interpolación lineal) es:

# y = mx + b #

Esto significa que para los puntos "cercanos" a nuestro valor conocido, podemos aproximar los valores como si estuviéramos en una línea con pendiente m, e intersección con y b. o:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Entonces, ¿qué es? #segundo#?

Resolvemos para esto usando nuestro valor conocido:

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# b = -1 #

Ahora conocemos la fórmula para la línea que se aproxima a nuestra curva en el punto conocido:

g (x#~=#1) = 4x-1

Entonces, no insertamos nuestros puntos de aproximación para obtener el valor aproximado, o:

#g (0.9) ~ = 4 (0.9) -1 #

#g (0.9) ~ = 3.6-1 #

#g (0.9) ~ = 2.6 #

y

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#g (1.1) ~ = 4.4-1 #

#g (1.1) ~ = 3.4 #

Fácil, ¿verdad?