¿Cómo simplificar root3 (1)?

Responder:

#1# o #1^(1/3)# =#1#

Explicación:

La raíz en cubos de 1 es lo mismo que elevar 1 a la potencia de #1/3#. 1 a la potencia de cualquier cosa es todavía 1.

Responder:

Trabajando en los reales que obtenemos. #root 3 {1} = 1 #.

Cada número complejo distinto de cero tiene tres raíces cúbicas, por lo que hay

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #

Explicación:

Si estamos trabajando en números reales simplemente notamos #root 3 {1} = raíz 3 {1 ^ 3} = 1 #. Voy a asumir que se trata de números complejos.

Una de las cosas extrañas que descubrimos cuando profundizamos en números complejos es que la función #f (z) = e ^ {z} # es periodico El crecimiento exponencial es algo opuesto a periódico, por lo que esto es una sorpresa.

El hecho clave es la identidad de Euler al cuadrado. Yo lo llamo La verdadera identidad de Euler.

# e ^ {2 pi i} = 1 #

La verdadera identidad de Euler muestra # e ^ z # es periodico con periodo # 2pi i #:

#f (z + 2pi i) = e ^ {z + 2 pi i} = e ^ z e ^ {2 pi i} = e ^ z = f (z) #

Podemos elevar la verdadera identidad de Euler a cualquier potencia entera. # k #:

# e ^ {2 pi k i} = 1 #

¿Qué tiene todo esto que ver con la raíz cúbica de uno? Es la clave. Dice que hay un número infinito de formas de escribir una. Algunos de ellos tienen diferentes raíces cúbicas que otros. Es por eso que los exponentes no enteros dan lugar a múltiples valores.

Eso es todo un gran final. Por lo general, simplemente comienzo esto escribiendo:

# e ^ {2pi k i} = 1 quad # para entero # k #

#root 3 {1} = 1 ^ {1/3} = (e ^ {2 pi ki}) ^ {1/3} = e ^ {i {2pi k} / 3} = cos (2pi k / 3) + i sin (2pi k / 3) #

El último paso es, por supuesto, la fórmula de Euler. # e ^ {i theta} = cos theta + i sin theta. #

Ya que tenemos el # 2pi # periodicidad de las funciones trigonométricas (que sigue a la periodicidad de la Fórmula exponencial y de Euler) solo tenemos valores únicos por tres consecutivos # k #s. Vamos a evaluar esto para # k = 0,1, -1 #:

# k #=0# quad quad cos ({2pi k} / 3) + i sen ({2pi k} / 3) = cos 0 + i sen 0 = 1 #

# k #=1# quad quad cos ({2pi} / 3) + i sin ({2pi} / 3) = -1 / 2 + i sqrt {3} / 2 #

# k #=-1# quad quad cos (- {2pi} / 3) + i sen (- {2pi} / 3) = -1 / 2 - i sqrt {3} / 2 #

Entonces obtenemos tres valores para la raíz cúbica de uno:

#root 3 {1} = 1 o -1/2 pm i sqrt {3} / 2 #