¿Cuál es la ecuación de la línea tangente de f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) en x = -2?

Responder:

Encontrar #f (-2) # y #f '(- 2) # luego usa la fórmula de la línea tangente.

La ecuación de la tangente es:

# y = 167.56x + 223,21 #

Explicación:

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

Encuentra la función derivada:

#f '(x) = (14x ^ 3)' - (4x ^ 2e ^ (3x)) '#

#f '(x) = 14 (x ^ 3)' - 4 (x ^ 2) 'e ^ (3x) + 4x ^ 2 (e ^ (3x))' #

#f '(x) = 14 * 3x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * (3x)' #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 4x ^ 2 * e ^ (3x) * 3 #

#f '(x) = 42x ^ 2-4 2xe ^ (3x) + 12x ^ 2 * e ^ (3x) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

Hallazgo #f (-2) #

#f (x) = 14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) #

#f (-2) = 14 * (- 2) ^ 3-4 * (- 2) ^ 2e ^ (3 * (- 2)) #

#f (-2) = 32e ^ (- 6) -112 #

#f (-2) = 111.92 #

y #f '(- 2) #

#f '(x) = 42x ^ 2-8xe ^ (3x) 1 + 6x #

#f '(- 2) = 42 * (- 2) ^ 2-8 * (- 2) e ^ (3 * (- 2)) 1 + 6 * (- 2) #

#f '(- 2) = 168-176e ^ (- 6) #

#f '(- 2) = 167.56 #

Ahora la definición derivada:

#f '(x) = (y-f (x_0)) / (x-x_0) #

Si # x_0 = -2 #

#f '(- 2) = (y-f (-2)) / (x - (- 2)) #

# 167.56 = (y-111.92) / (x + 2) #

# 167.56 (x + 2) = y-111.92 #

# y = 167.56x + 167.56 * 2 + 111.92 #

# y = 167.56x + 223,21 #

gráfica {14x ^ 3-4x ^ 2e ^ (3x) -227, 254, -214.3, 26.3}

Como puede ver arriba, el gráfico está aumentando a gran velocidad para #x <0 # por lo que la gran pendiente está realmente justificada.

Nota: si no tiene permiso para usar una calculadora, solo tiene que transferir la #e ^ (- 6) # todo el tiempo. Ten en cuenta las reglas de los poderes:

#e ^ (- 6) = 1 / e ^ 6 #

#e ^ (- 6) * e ^ (- 6) = (e ^ (- 6)) ^ 2 = e ^ (- 6 * 2) = e ^ (- 12) #