¿Cuál es la pendiente de la línea normal a la línea tangente de f (x) = sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4) en x = (15pi) / 8?

Responder:

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

Grafica interactiva

Explicación:

Lo primero que tendremos que hacer es calcular #f '(x) # a #x = (15pi) / 8 #.

Hagamos este término por término. Para el # sec ^ 2 (x) # término, tenga en cuenta que tenemos dos funciones integradas una dentro de la otra: # x ^ 2 #y #sec (x) #. Por lo tanto, necesitaremos usar una regla de cadena aquí:

# d / dx (sec (x)) ^ 2 = 2sec (x) * d / dx (sec (x)) #

#color (azul) (= 2seg ^ 2 (x) tan (x)) #

Para el segundo término, necesitaremos usar una regla de producto. Asi que:

# d / dx (xcos (x-pi / 4)) = color (rojo) (d / dx (x)) cos (x-pi / 4) + color (rojo) (d / dxcos (x-pi / 4))(X)#

#color (azul) (= cos (x-pi / 4) - xsin (x-pi / 4)) #

Puede preguntarse por qué no usamos una regla de cadena para esta parte, ya que tenemos una # (x - pi / 4) # dentro del coseno. La respuesta es que lo hicimos implícitamente, pero lo ignoramos. Observe cómo el derivado de # (x - pi / 4) # es simplemente 1? Por lo tanto, multiplicar eso en no cambia nada, por lo que no lo escribimos en los cálculos.

Ahora, ponemos todo junto:

# d / dx (sec ^ 2x-xcos (x-pi / 4)) = color (violeta) (2sec ^ 2 (x) tan (x) - cos (x-pi / 4) + xsin (x-pi / 4)) #

Cuida tus señales.

Ahora, necesitamos encontrar la pendiente de la recta tangente a #f (x) # a #x = (15pi) / 8 #. Para hacer esto, simplemente insertamos este valor en #f '(x) #:

#f '((15pi) / 8) = (2sec ^ 2 ((15pi) / 8) tan ((15pi) / 8) - cos ((15pi) / 8-pi / 4) + (15pi) / 8sin ((15pi) / 8-pi / 4)) = color (violeta) (~~ -6.79) #

Sin embargo, lo que queremos no es la línea tangente a f (x), sino la línea normal lo. Para lograr esto, solo tomamos el recíproco negativo de la pendiente arriba.

#m_ (norma) = -1 / -15.78 color (violeta) (~~ 0.015) #

Ahora, simplemente encajamos todo en forma de punto de pendiente:

#y = m (x-x_0) + y_0

# => y = 0.063 (x - (15pi) / 8) - 1.08 #

¡Echa un vistazo a este gráfico interactivo para ver cómo se ve!

Espero que haya ayudado:)