X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x ). Por favor, ayúdame con la primera declaración?

Para comprender estas afirmaciones, primero debemos entender la notación que se utiliza.

• #AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO# - para todos - Este símbolo implica que algo es válido para cada ejemplo dentro de un conjunto. Entonces, cuando agregamos una variable #X#, # AAx # significa que alguna declaración se aplica a cada valor o elemento posible que podríamos sustituir en #X#.

• #P (x), Q (x) # - proposición - Estas son proposiciones lógicas respecto a #X#, es decir, representan declaraciones sobre #X# que son verdaderos o falsos para cualquier particular #X#.

• # # - y - Este símbolo permite la combinación de múltiples proposiciones. El resultado combinado es verdadero cuando ambas proposiciones devuelven verdadero, y falso en caso contrario.

• # # - o - Este símbolo también permite la combinación de múltiples proposiciones. El resultado combinado es falso cuando ambas proposiciones devuelven falso, y verdadero de lo contrario.

• # # - si y solo si - Este símbolo también permite la combinación de múltiples proposiciones. El resultado combinado es verdadero cuando ambas proposiciones devuelven el mismo valor de verdad para todos #X#, y falso de lo contrario.

Con esto, ahora podemos traducir las declaraciones. La primera declaración, expresada directamente, sonaría como "Para todo x, P de x y Q de x si y solo si para todo x, P de x, y para todo x, Q de x".

Algunas adiciones y modificaciones menores lo hacen un poco más comprensible.

"Para todas las x, P y Q son verdaderas para x si y solo si P es verdadera para todas las x y Q es verdadera para todas las x".

Esta declaración es una tautología, es decir, es verdadera independientemente de lo que sustituyamos por P o Q. Podemos mostrar esto demostrando que la proposición anterior a la implica la siguiente, y viceversa.

A partir de la declaración anterior, tenemos que para cada #X#, #P (x) Q (x) # es verdad. Por nuestra definición anterior, eso significa que para cada #X#, #P (x) # es cierto y #Q (x) # es verdad. Esto implica que para cualquier #X#, #P (x) # es cierto y para cualquier #X#, #Q (x) # es verdadero, que es la declaración que aparece después de la.

Si comenzamos a partir de la declaración que aparece después de la, entonces sabemos que para cualquier #X#, #P (x) # es cierto y para cualquier #X#, #Q (x) # es verdad. Entonces para todos #X#, #P (x) # y #Q (x) # Ambos son verdad, significando para todos #X#, #P (x) Q (x) # es verdad. Esto prueba que la primera afirmación es siempre cierta.

La segunda afirmación es falsa. Sin pasar por el proceso completo como se indicó anteriormente, podemos mostrar simplemente que las dos proposiciones a cada lado de la no siempre tienen el mismo valor de verdad. Por ejemplo, supongamos que para la mitad de todos los posibles #X#, #P (x) # es cierto y #Q (x) # es falso, y para la otra mitad, #Q (x) # es cierto y #P (x) # Es falso.

En este caso, como para todos. #X#, ya sea #P (x) # o #Q (x) # es verdad, la proposición #AAx (P (x) Q (x)) # es cierto (ver las descripciones de arriba). Pero, porque hay valores para #X# para cual #P (x) # es falso, la proposición #AAxP (x) # Es falso. Similar, #AAxQ (x) # también es falso, lo que significa #AAxP (x) AAxQ (x) # Es falso.

Como las dos proposiciones tienen valores de verdad diferentes, claramente la verdad de una no garantiza la verdad de la otra, y así unirlas con da como resultado una nueva proposición que es falsa.