¿Cuál es la forma de vértice de 7y = - 13x ^ 2 -15x + 2?

Responder:

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Explicación:

Primero, consiga la ecuación en su forma típica dividiendo ambos lados por #7#.

# y = -13 / 7x ^ 2-15 / 7x + 2/7 #

Ahora, queremos poner esto en forma de vértice:

# y = a (x-h) ^ 2 + k #

Primero, factoriza el #-13/7# de los dos primeros términos. Tenga en cuenta que factoring a #-13/7# de un término es lo mismo que multiplicar el término por #-7/13#.

# y = -13 / 7 (x ^ 2 + 15 / 13x) + 2/7 #

Ahora, queremos que el término entre paréntesis sea un cuadrado perfecto. Cuadrados perfectos vienen en el patrón # (x + a) ^ 2 = x ^ 2 + 2ax + a ^ 2 #.

Aquí, el término medio. # 15 / 13x # es el término medio del trinomio cuadrado perfecto, # 2ax #. Si queremos determinar que #una# es dividir # 15 / 13x # por # 2x # para ver eso # a = 15/26 #.

Esto significa que queremos agregar el término que falta en los paréntesis para hacer que el grupo sea igual a # (x + 15/26) ^ 2 #.

# y = -13 / 7 sobrebrace ((x ^ 2 + 15 / 13x +?)) ^ ((x + 15/26) ^ 2) + 2/7 #

El término que falta al final del trinomio cuadrado perfecto es # a ^ 2 #, y sabemos que # a = 15/26 #, asi que # a ^ 2 = 225/676 #.

Ahora añadimos #225/676# a los términos en los paréntesis. Sin embargo, no podemos ir agregando números a las ecuaciones a la ligera. Debemos equilibrar lo que acabamos de agregar en el mismo lado de la ecuación. (Por ejemplo, si hubiéramos añadido #2#, tendríamos que añadir #-2# al mismo lado de la ecuación para un cambio neto de #0#).

# y = color (azul) (- 13/7) (x ^ 2 + 15 / 13x + color (azul) (225/676)) + 2/7 + color (azul)? #

Tenga en cuenta que no hemos añadido #225/676#. Ya que está dentro de los paréntesis, el término en el exterior se está multiplicando. Por lo tanto, la #225/676# en realidad tiene un valor de

# 225 / 676xx-13/7 = 225 / 52xx-1/7 = -225 / 364 #

Desde que hemos añadido #-225/364#, hay que sumar un positivo. #225/364# al mismo lado.

# y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 2/7 + 225/364 #

Tenga en cuenta que #2/7=104/364#, asi que

#color (rojo) (y = -13 / 7 (x + 15/26) ^ 2 + 329/364 #

Esto es en forma de vértice, donde el vértice de la parábola está en # (h, k) -> (- 15 / 26,329 / 364) #.

Podemos revisar nuestro trabajo graficando la parábola:

gráfica {7y = - 13x ^ 2 -15x + 2 -4.93, 4.934, -2.466, 2.466}

Tenga en cuenta que #-15/26=-0.577# y #329/364=0.904#, que son los valores obtenidos haciendo clic en el vértice.