¿Cómo encuentra los valores máximos y mínimos absolutos de f en el intervalo dado: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) en [-1, 5]?

Responder:

Reqd. los valores extremos son # -25 / 2 y 25/2 #.

Explicación:

Usamos sustitucion # t = 5sinx, t en -1,5 #.

Observe que esta sustitución es permisible, porque, # t en -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, que se mantiene bien, como rango de #pecado# divertido. es #-1,1#.

Ahora, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Ya que, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Por lo tanto, reqd. las extremidades son # -25 / 2 y 25/2 #.

Responder:

Encuentre la monotonía de la función a partir del signo del derivado y decida qué máximos / mínimos locales son los más grandes, los más pequeños.

El máximo absoluto es:

#f (3.536) = 12.5 #

El mínimo absoluto es:

#f (-1) = - 4.899 #

Explicación:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

La derivada de la función:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12.5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• El numerador tiene dos soluciones:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Por lo tanto, el numerador es:

  Negativo para #t en (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positivo para #t en (-3.536,3.536) #

• El denominador siempre es positivo en # RR #, ya que es una raíz cuadrada.

  Finalmente, el rango dado es #-1,5#

Por lo tanto, la derivada de la función es:

- Negativo para #t en -1,3.536) #

- Positivo para #t en (3.536,5) #

Esto significa que la gráfica en primer lugar sube de #f (-1) # a #f (3.536) # y luego baja a #f (5) #. Esto hace #f (3.536) # El máximo absoluto y el mayor valor de #f (-1) # y #f (5) # es el mínimo absoluto.

Máximo absoluto es #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Para el máximo absoluto:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Por lo tanto, #f (-1) = - 4.899 # es el mínimo absoluto.

Puedes ver en el siguiente gráfico que esto es cierto. Simplemente ignora el área izquierda de #-1# ya que está fuera del dominio:

gráfico {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}