El agua se está vertiendo en un recipiente cilíndrico de 10 pies de altura y un radio de 3 pies, a una velocidad de 5 "pies" ^ 3 / "min". ¿A qué ritmo sube el nivel del agua?

Responder:

# = (5) / (9 pi) # ft / min

Explicación:

Para una altura dada, # h #, de fluido en el cilindro o radio # r #el volumen es

#V = pi r ^ 2 h #

Diferenciar el tiempo de escritura

#dot V = 2 pi r punto r h + pi r ^ 2 punto h # pero #dot r = 0 # asi que

#dot V = pi r ^ 2 punto h #

# punto h = punto V / (pi r ^ 2) #

# = (5) / (pi (3 ^ 2)) #

# = (5) / (9 pi) # ft / min

El agua se drena de un depósito en forma de cono de 10 pies de diámetro y 10 pies de profundidad a una velocidad constante de 3 pies3 / min. ¿Qué tan rápido cae el nivel del agua cuando la profundidad del agua es de 6 pies?

La relación del radio, r, de la superficie superior del agua a la profundidad del agua, w es una constante que depende de las dimensiones generales del cono r / w = 5/10 rarr r = w / 2 El volumen del cono de el agua viene dada por la fórmula V (w, r) = pi / 3 r ^ 2w o, en términos de solo w para la situación dada V (w) = pi / (12) w ^ 3 (dV) / (dw) = pi / 4w ^ 2 rarr (dw) / (dV) = 4 / (piw ^ 2) Se nos dice que (dV) / (dt) = -3 (cu.ft./min.) (dw) / ( dt) = (dw) / (dV) * (dV) / (dt) = 4 / (piw ^ 2) * (- 3) = (- 12) / (piw ^ 2) Cuando w = 6 la profundidad del agua es cambiando a una tasa de (dw) / (dt) (6)

El agua sale de un tanque cónico invertido a una velocidad de 10,000 cm3 / min al mismo tiempo que se bombea agua al tanque a una velocidad constante Si el tanque tiene una altura de 6 m y el diámetro en la parte superior es de 4 my Si el nivel del agua aumenta a una velocidad de 20 cm / min cuando la altura del agua es de 2 m, ¿cómo encuentra la velocidad a la que se está bombeando el agua al tanque?

Sea V el volumen de agua en el tanque, en cm ^ 3; Sea h la profundidad / altura del agua, en cm; y sea r el radio de la superficie del agua (en la parte superior), en cm. Como el tanque es un cono invertido, también lo es la masa de agua. Como el tanque tiene una altura de 6 my un radio en la parte superior de 2 m, triángulos similares implican que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, de modo que h = 3r. El volumen del cono de agua invertido es entonces V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ahora diferencie ambos lados con respecto al tiempo t (en minutos) para obtener frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {d

Una luz de calle está en la parte superior de un poste de 15 pies de altura. Una mujer de 6 pies de altura se aleja del poste con una velocidad de 4 pies / seg a lo largo de un camino recto. ¿Qué tan rápido se está moviendo la punta de su sombra cuando está a 50 pies de la base del palo?

D '(t_0) = 20/3 = 6, bar6 ft / s Usando el teorema de proporcionalidad de Thales para los triángulos AhatOB, AhatZH Los triángulos son similares porque tienen hatO = 90 °, hatZ = 90 ° y BhatAO en común. Tenemos (AZ) / (AO) = (HZ) / (OB) <=> ω / (ω + x) = 6/15 <=> 15ω = 6 (ω + x) <=> 15ω = 6ω + 6x <=> 9ω = 6x <=> 3ω = 2x <=> ω = (2x) / 3 Deje que OA = d luego d = ω + x = x + (2x) / 3 = (5x) / 3 d (t) = (5x (t)) / 3 d '(t) = (5x' (t)) / 3 Para t = t_0, x '(t_0) = 4 ft / s Por lo tanto, d' (t_0) = (5x '( t_0)) / 3 <=> d '(t_0) = 20/