Esta es una prueba trigonométrica de un caso generalizado, la pregunta está en el cuadro de detalles?

Responder:

La prueba por inducción está abajo.

Explicación:

Probemos esta identidad por inducción.

A. para # n = 1 # tenemos que comprobar que

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

De hecho, utilizando la identidad. #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, vemos eso

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

de lo que sigue eso

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Entonces para # n = 1 # nuestra identidad es cierta.

B. Supongamos que la identidad es verdadera para #norte#

Entonces, asumimos que

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j en 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(símbolo #Pi# se utiliza para el producto)

C. Usando la suposición B de arriba, probemos la identidad de # n + 1 #

Tenemos que demostrar que a partir del supuesto B se sigue

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j en 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Observe que el límite derecho para un índice de multiplicación es #norte# ahora).

PRUEBA

Usando una identidad #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # para # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Divide las expresiones iniciales y finales por # 2cos (theta) +1 #, consiguiendo

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Ahora usamos el supuesto B obteniendo

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j en 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j en 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Observe que el rango de un índice ahora se extiende a #norte#).

La última fórmula es exactamente la misma para # n + 1 # como original es para #norte#. Eso completa la prueba por inducción de que nuestra fórmula es cierta para cualquier #norte#.

Responder:

Vea la sección Prueba en la Explicación a continuación.

Explicación:

Esto es equivalente a probar que, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "the R.H.S." #

Disfruta de las matemáticas!