Responder:
# x = 9 #
Explicación:
Estamos buscando el mayor entero donde:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Hay algunas maneras en que podemos hacer esto. Una es simplemente probar números enteros. Como línea de base, intentemos # x = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
y así lo sabemos #X# es al menos 0, por lo que no hay necesidad de probar enteros negativos.
Podemos ver que la mayor potencia de la izquierda es 4. Probemos # x = 4 # y mira lo que pasa:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Mantendré el resto de las matemáticas, está claro que el lado izquierdo es más grande en una cantidad considerable. Entonces intentemos # x = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
asi que # x = 10 # es demasiado grande. Creo que nuestra respuesta será 9. Vamos a comprobar:
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
y de nuevo queda claro que el lado izquierdo es más grande que el derecho. Así que nuestra respuesta final es # x = 9 #.
¿Cuáles son otras formas de encontrar esto? Podríamos haber intentado graficar. Si expresamos esto como # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #, obtenemos una gráfica que se ve así:
gráfica {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}
y podemos ver que la respuesta alcanza su punto máximo alrededor del # x = 8.5 # marca, sigue siendo positivo en # x = 9 # y se vuelve negativo antes de alcanzar # x = 10 # - haciendo # x = 9 # el mayor entero
¿De qué otra manera podríamos hacer esto? Podriamos resolver # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # algebraicamente
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Para hacer las matemáticas más fáciles, primero voy a notar que a medida que los valores de #X# Aumentar, los términos del lado izquierdo comienzan a ser irrelevantes. Primero, el 9 disminuirá en importancia hasta que sea completamente irrelevante, y lo mismo va para el # 30x ^ 2 # término. Así que esto se reduce a:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
¡Y creo que estoy haciendo un lío de esto! ¡El álgebra no es una manera fácil de abordar este problema!
