¿Distinguir cos (x ^ 2 + 1) usando el primer principio de derivado?

Responder:

# -sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Explicación:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Para este problema, necesitamos usar la regla de la cadena, así como el hecho de que la derivada de #cos (u) = -sin (u) #. La regla de la cadena básicamente establece que primero puede derivar la función externa con respecto a lo que está dentro de la función, y luego multiplicarla por la derivada de lo que está dentro de la función.

Formalmente, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, dónde #u = x ^ 2 + 1 #.

Primero necesitamos resolver la derivada del bit dentro del coseno, a saber: # 2x #. Luego, después de haber encontrado la derivada del coseno (un seno negativo), podemos multiplicarlo por # 2x #.

# = - pecado (x ^ 2 + 1) * 2x #

Responder:

Por favor ver más abajo.

Explicación:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Necesitamos encontrar

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / h #

Centrémonos en la expresión cuyo límite necesitamos.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

Utilizaremos los siguientes límites:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (cost-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

Y #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

Para evaluar el límite:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #