Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Responder:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Explicación:

nosotros buscamos:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Cuando evaluamos un límite observamos el comportamiento de la función "cerca" del punto, no necesariamente el comportamiento de la función "en" el punto en cuestión, por lo tanto como #x rarr 0 #En ningún momento debemos considerar lo que sucede en # x = 0 #, Así obtenemos el resultado trivial:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Para mayor claridad un gráfico de la función para visualizar el comportamiento en torno a # x = 0 #

gráfico {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Debe quedar claro que la función # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # no está definido en # x = 0 #

Responder:

Por favor ver más abajo.

Explicación:

Las definiciones de límite de una función que uso son equivalentes a:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # Si y solo de Para todo positivo. # épsilon #, hay un positivo #delta# tal que para cada #X#, Si # 0 <abs (x-a) <delta # entonces #abs (f (x) - L) <épsilon #

Por el significado de "#abs (f (x) - L) <épsilon #", esto requiere que para todos #X# con # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # se define.

Es decir, para lo requerido. #delta#todo # (a-delta, a + delta) # excepto posiblemente #una#, se encuentra en el dominio de #F#.

Todo esto nos consigue:

#lim_ (xrarra) f (x) # existe solo si #F# Se define en algún intervalo abierto que contiene #una#, excepto quizás en #una#.

(#F# debe ser definido en algún barrio abierto eliminado de #una#)

Por lo tanto, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # no existe.

Un ejemplo casi trivial.

#f (x) = 1 # para #X# Un real irracional (indefinido para los racionales).

#lim_ (xrarr0) f (x) # no existe.