¿Cuál es el valor de? lim_ (x-> 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2.dt) / sin x ^ 2

Responder:

# lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) = 0 #

Explicación:

Nosotros buscamos:

# L = lim_ (x rarr 0) (int_0 ^ x sin t ^ 2 dt) / (sin x ^ 2) #

Tanto el numerador como el denominador 2 #rarr 0 # como #x rarr 0 #. así el límite # L # (si existe) es de forma indeterminada. #0/0#y, en consecuencia, podemos aplicar la regla de L'Hôpital para obtener:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt) / (d / dx sin (x ^ 2)) #

Ahora, usando el teorema fundamental del cálculo:

# d / dx int_0 ^ x sin (t ^ 2) dt = sin (x ^ 2) #

Y,

# d / dx sin (x ^ 2) = 2xcos (x ^ 2) #

Y entonces:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (x ^ 2) / (2xcos (x ^ 2)) #

De nuevo esto es de forma indeterminada. #0/0#y, en consecuencia, podemos aplicar la regla de L'Hôpital nuevamente para obtener:

# L = lim_ (x rarr 0) (d / dx sin (x ^ 2)) / (d / dx 2xcos (x ^ 2)) #

# = lim_ (x rarr 0) (2xcos (x ^ 2)) / (2cos (x ^ 2) -4x ^ 2sin (x ^ 2)) #

Que, podemos evaluar:

# L = (0) / (2-0) = 0 #