¿Qué son los números complejos? Gracias.

Los números complejos son números de la forma # a + bi # dónde #una# y #segundo# son numeros reales y #yo# Se define como # i = sqrt (-1) #.

(Lo anterior es una definición básica de números complejos. Lea un poco más sobre ellos.)

Muy parecido a como denotamos el conjunto de números reales como # RR #, denotamos el conjunto de números complejos como # CC #. Tenga en cuenta que todos los números reales también son números complejos, como cualquier número real #X# puede ser escrito como # x + 0i #.

Dado un número complejo # z = a + bi #, Nosotros decimos eso #una# es el parte real del número complejo (denotado # "Re" (z) #) y #segundo# es el parte imaginaria del número complejo (denotado # "Im" (z) #).

Realizar operaciones con números complejos es similar a realizar operaciones en binomios. Dados dos números complejos # z_1 = a_1 + b_1i # y # z_2 = a_2 + b_2i #

# z_1 + z_2 = a_1 + b_1i + a_2 + b_2i = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i #

# z_1-z_2 = a_1 + b_1i- (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i #

# z_1xxz_2 = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i + b_1b_2i ^ 2 #

# = a_1a_2 + a_1b_2i + a_2b_1i-b_1b_2 # (recuerda # i = sqrt (-1) #)

# = (a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1) i #

# z_1-: z_2 = (a_1 + b_1i) / (a_2 + b_2i) #

# = ((a_1 + b_1i) (a_2-b_2i)) / ((a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)) #

# = ((a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1-a_1b_2) i) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) #

# = (a_1a_2 + b_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) + (a_2b_1-a_1b_2) / (a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2) i #

Para la división, utilizamos el hecho de que # (a + bi) (a-bi) = a ^ 2 + b ^ 2 #. Dado un número complejo # z = a + bi # nosotros llamamos # a-bi # la complejo conjugado de # z # y denotarlo #bar (z) # Es una propiedad útil (como se ve arriba) que #zbar (z) # Siempre es un número real.

Los números complejos tienen muchas aplicaciones y atributos útiles, pero uno que a menudo se encuentra temprano es su uso para factorizar polinomios. Si nos limitamos solo a números reales, un polinomio tal como # x ^ 2 + 1 # no puede ser factorizado aún más, sin embargo, si permitimos números complejos, entonces tenemos # x ^ 2 + 1 = (x + i) (x-i) #.

De hecho, si permitimos números complejos, entonces alguna polinomio de una sola variable de grado #norte# puede ser escrito como el producto de #norte# Factores lineales (posiblemente siendo algunos iguales). Este resultado se conoce como el teorema fundamental del algebra Y, como su nombre lo indica, es muy importante para el álgebra y tiene una amplia aplicación.