¿Cuál es la longitud de la escalera si una escalera de longitud L se lleva horizontalmente alrededor de una esquina desde un pasillo de 3 pies de ancho a un pasillo de 4 pies de ancho?

Considere un segmento de línea que va desde # (x, 0) # a # (0, y) # por la esquina interior de #(4,3)#.

La longitud mínima de este segmento de línea será la longitud máxima de la escalera que se puede maniobrar en esta esquina.

Suponer que #X# Es más allá #(4,0)# por algún factor de escala, # s #de 4, entonces

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

velar por la # (1 + s) # apareciéndose más tarde como un valor para ser factorizado de algo.

Por triángulos semejantes podemos ver que

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Por el teorema de Pitágoras, podemos expresar el cuadrado de la longitud del segmento de línea como una función de # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normalmente tomaríamos la derivada de L (s) para encontrar el mínimo, pero en este caso es más fácil tomar la derivada de # L ^ 2 (s) #.

(Tenga en cuenta que si #L (s) # es un mínimo como # s = s_0 #, entonces # L ^ 2 (s) # También habrá un mínimo en # s = s_0 #.)

Tomando la primera derivada de # L ^ 2 (s) # y poniéndolo a cero, obtenemos:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Multiplicando por # s ^ 3 # y luego factorizando # 2 (1 + s) #

nos permite resolver para # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Conectando este valor de nuevo en la ecuación para # L ^ 2 (s) # y tomando la raíz cuadrada (usé una hoja de cálculo), obtenemos

la longitud máxima de la escalera # = 9.87 pies # (aprox.)