¿Cómo encuentras la Fórmula de MacLaurin para f (x) = sinhx y la usas para aproximar f (1/2) dentro de 0.01?

Responder:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Explicación:

Sabemos la definición de #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Como conocemos la serie Maclaurin para # e ^ x #, podemos usarlo para construir uno para #sinh (x) #.

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Podemos encontrar la serie para # e ^ -x # por reemplazo #X# con #-X#:

# e ^ -x = suma_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = suma_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Podemos restar estos dos para encontrar el numerador de la # sinh # definición:

#color (blanco) (- e ^ -x.) e ^ x = color (blanco) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + X ^ 5 / (5!) … #

#color (blanco) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# e ^ xe ^ -x = color (blanco) (lllllllll) 2xcolor (blanco) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) color (blanco) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Podemos ver que todos los términos pares se cancelan y todos los términos impares se duplican. Podemos representar este patrón así:

# e ^ x-e ^ -x = suma_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Para completar el #sinh (x) # series, solo necesitamos dividir esto por #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Ahora queremos calcular #f (1 / 2) # con una precisión de al menos #0.01#. Conocemos esta forma general del límite de error de Lagrange para un polinomio de taylor de grado n sobre # x = c #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (X-c) ^ (n + 1) | # dónde #METRO# es un límite superior en la enésima derivada en el intervalo de #do# a #X#.

En nuestro caso, la expansión es una serie Maclaurin, por lo que # c = 0 # y # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

Los derivados de orden superior de #sinh (x) # será cualquiera #sinh (x) # o #cosh (x) #. Si consideramos las definiciones para ellos, vemos que #cosh (x) # siempre será más grande que #sinh (x) #, por lo que deberíamos resolver el #METRO#-con rumbo a #cosh (x) #

La función del coseno hiperbólico siempre está aumentando, por lo que el valor más grande en el intervalo estará en #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Ahora conectamos esto en el límite de error de Lagrange:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) #

Queremos # | R_n (x) | # ser más pequeño que #0.01#, entonces intentamos algunos #norte# los valores hasta que lleguemos a ese punto (cuanto menor sea la cantidad de términos en el polinomio, mejor). Encontramos eso # n = 3 # Es el primer valor que nos dará un error de enlace menor que #0.01#, por lo que necesitamos usar un polinomio de Taylor de 3er grado.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #