¿Cuál es la ecuación de la línea tangente de f (x) = (1-x ^ 3) / (x ^ 2-3x) en x = 4?

Responder:

# y = (123/16) x-46 #

Explicación:

La pendiente de la recta tangente en x = 4 es #f '(4) #

encontremos #f '(x) #

#f (x) # está en la forma # u / v # entonces

#f '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 #

dejar # u = 1-x ^ 3 # y # v = x ^ 2-3x #

Asi que, #u '= - 3x ^ 2 #

# v '= 2x-3 #

entonces

#f '(x) = (u'v-v'u) / v ^ 2 #

#f '(x) = (((- - 3x ^ 2) (x ^ 2-3x)) - ((2x-3) (1-x ^ 3))) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

#f '(x) = (- 3x ^ 4 + 9x ^ 3-2x + 2x ^ 4 + 3-3x ^ 3) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

#f '(x) = (- x ^ 4 + 6x ^ 3-2x + 3) / (x ^ 2-3x) ^ 2 #

Para encontrar la pendiente de la línea tangente en x = 4 necesitamos calcular f '(4)

Evaluamos f '(x) así que sustituimos x por 4

#f '(4) = (- 4 ^ 4 + 6 * 4 ^ 3-2 * 4 + 3) / (4 ^ 2-3 * 4) ^ 2 #

#f '(4) = (- 256 + 384-8 + 3) / (16-12) ^ 2 #

#f '(4) = 123/16 #

La pendiente de esta tangente es 123/16.

Teniendo # x = 4 # encontremos # y #

# y = (1-4 ^ 3) / (4 ^ 2-3 * 4) #

# y = -63 / 4 #

La ecuación de la línea tangente es:

#y - (- 63/4) = 123/16 (x-4) #

# y + 63/4 = (123/16) x-123 * 4/16 #

# y + 63/4 = (123/16) x-123/4 #

# y = (123/16) x-123 / 4-63 / 4 #

# y = (123/16) x- (123 + 63) / 4 #

# y = (123/16) x-184/4 #

# y = (123/16) x-46 #