Responder:
La línea tangente es paralela a la #X# eje cuando la pendiente (de ahí # dy / dx #) es cero y es paralelo a la # y # eje cuando la pendiente (de nuevo, # dy / dx #) va a # oo # o # -oo #
Explicación:
Empezaremos por encontrar # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Ahora, # dy / dx = 0 # cuando el nuimerador es #0#, siempre que esto no haga también el denominador. #0#.
# 2x + y = 0 # cuando #y = -2x #
Tenemos ahora, dos ecuaciones:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Resolver (por sustitución)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Utilizando #y = -2x #, obtenemos
La tangente a la curva es horizontal en los dos puntos:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # y # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Observe que estos pares no hacen también el denominador de # dy / dx # igual a #0#)
Para encontrar los puntos en los que la tangente es vertical, haga el denominador de # dy / dx # igual tpo #0# (sin hacer también el numerador #0#).
Podríamos pasar por la solución, pero la simetría de la ecuación que obtendremos:
# x = -2y #, asi que
#y = + - sqrt21 / 3 #
y los puntos de la curva en los que la tangente es vertical son:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # y # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Por cierto. Como tenemos la tecnología, aquí está la gráfica de esta elipse rotada: (Tenga en cuenta que # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # que puedes ver en la gráfica.)
gráfica {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Responder:
Usando solo matemáticas de la escuela media que obtengo
Tangentes paralelas al eje x en:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) y (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangentes paralelas al eje y en:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) y (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Explicación:
Miré la respuesta de Jim, que parece un buen tratamiento de cálculo estándar. Pero no pude evitar sentirme triste por todos los estudiantes de secundaria que viven en tierras socráticas que quieren encontrar tangentes de curvas algebraicas, pero aún están a muchos años del cálculo.
Afortunadamente, pueden hacer estos problemas usando solo Algebra I.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Esto podría ser un poco complicado para un primer ejemplo, pero vamos con eso. Escribimos nuestra curva como #f (x, y) = 0 # dónde
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Echemos # (r, s) # como un punto en #F#. Queremos investigar #F# cerca # (r, s) # así que escribimos
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Nos expandimos, pero no expandimos los términos de diferencia # x-r # y # y-s #. Queremos mantenerlos intactos para poder experimentar eliminando algunos más adelante.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Dijimos # (r, s) # Está encendido #F# asi que #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Clasificamos los términos por grado, y podemos experimentar con aproximaciones a #F# cerca # (r, s) # dejando caer los grados superiores. La idea es cuando # (x, y) # está cerca # (r, s) # entonces # x-r # y # y-s # Son pequeños, y sus cuadrados y producto son aún más pequeños.
Generemos algunas aproximaciones a #F#. Ya que # (r, s) # está en la curva, la aproximación constante, eliminando todos los términos de diferencia, es
# f_0 (x, y) = 0 #
Eso no es particularmente emocionante, pero nos dice correctamente los puntos cercanos. # (r, s) # dará un valor cercano a cero para #F#.
Seamos más interesantes y mantengamos los términos lineales.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Cuando configuramos esto a cero, obtenemos la mejor aproximación lineal a #F# cerca # (r, s), # Cuál es el linea tangente a #F# a # (r, s). # Ahora estamos llegando a alguna parte.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Podemos considerar otras aproximaciones también:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Estas son tangentes de orden superior, a las que los estudiantes universitarios de matemáticas casi nunca llegan. Ya hemos ido más allá del cálculo universitario.
Hay más aproximaciones, pero me advierten que esto se está haciendo largo. Ahora que aprendimos cómo hacer cálculos usando solo Álgebra I, resolvamos el problema.
Queremos encontrar los puntos donde la línea tangente es paralela a la #X# eje y # y # eje.
Encontramos nuestra línea tangente en # (r, s) # es
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Paralelo a la #X# eje significa una ecuación #y = texto {constante} #. Así que el coeficiente de #X# debe ser cero:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # esta en la curva asi que #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Ya que # s = -2r # los puntos son
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) y (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
De manera similar paralela a los medios del eje y # 2s + r = 0 # que solo debe intercambiar x e y debido a la simetría del problema. Así que los otros puntos son
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) y (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Comprobar.
¿Como revisar? Vamos a hacer una trama alfa.
gráfico x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Se ve bien. Cálculo sobre curvas algebraicas. Bastante bien para la secundaria.
