¿Cómo puedo resolver esta ecuación diferencial?

Responder:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Explicación:

Esto es un ecuación diferencial separable, lo que simplemente significa que es posible agrupar #X# términos y # y # Términos en lados opuestos de la ecuación. Entonces, esto es lo que haremos primero:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Ahora, queremos conseguir dy en el lado con las y, y dx en el lado con las x. Tendremos que hacer un poco de reorganización:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Ahora, integramos ambos lados:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Vamos a hacer cada integral en su turno:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Primero, dividamos esto en 2 integrales separadas por la regla de suma / resta:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Estos parecen un poco molestos. Sin embargo, podemos darles un poco de maquillaje para que se vean más agradables (y mucho más fáciles de resolver):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Ambos son ahora simples # u #-sustituciones integrales. Si te pones #u = -x # y # -3x # respectivamente, obtendrás la respuesta como:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

#Si hacemos positivo el exponente negativo, obtenemos:

#int (ye ^ y) dy #

Tendremos que usar la integración por partes para esto. La fórmula es:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Vamos a establecer #u = y #y #dv = e ^ y dy #. La razón es que queremos un fácil. # du # para esa integración final, y también porque # e ^ y # Es muy fácil de integrar.

Asi que:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Ahora, acabamos de enchufar y chug

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Poner todo de nuevo en:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Deshacerse de los exponentes negativos:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

Y esa es una respuesta final bastante decente. Si querías resolver para # y #, podrías, y terminarías con

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Note que no tenemos un # + C # en el LHS de esta ecuación. La razón de esto es que incluso si lo pusiéramos, finalmente lo restaríamos del RHS, y una constante arbitraria menos una constante arbitraria sigue siendo (espera) una constante arbitraria. Por lo tanto, para estos problemas, siempre y cuando tenga su # + C # en cualquier lado de la ecuación, estarás bien.

Espero que haya ayudado:)