Resuelve x²-3 <3. Esto parece simple pero no pude obtener la respuesta correcta. La respuesta es (- 5, -1) U (1, 5). ¿Cómo resolver esta desigualdad?

Responder:

La solución es que la desigualdad debe ser #abs (x ^ 2-3) <color (rojo) (2) #

Explicación:

Como es habitual con los valores absolutos, se dividen en casos:

Caso 1: # x ^ 2 - 3 <0 #

Si # x ^ 2 - 3 <0 # entonces #abs (x ^ 2-3) = - (x ^ 2-3) = -x ^ 2 + 3 #

y nuestra (corregida) desigualdad se convierte en:

# -x ^ 2 + 3 <2 #

Añadir # x ^ 2-2 # a ambos lados para obtener # 1 <x ^ 2 #

Asi que #x en (-oo, -1) uu (1, oo) #

De la condición del caso tenemos

# x ^ 2 <3 #, asi que #x en (-sqrt (3), sqrt (3)) #

Por lo tanto:

#x en (-sqrt (3), sqrt (3)) nn ((-oo, -1) uu (1, oo)) #

# = (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) #

Caso 2: # x ^ 2 - 3> = 0 #

Si # x ^ 2 - 3> = 0 # entonces #abs (x ^ 2-3) = x ^ 2 + 3 # y nuestra (corregida) desigualdad se convierte en:

# x ^ 2-3 <2 #

Añadir #3# a ambos lados para obtener:

# x ^ 2 <5 #, asi que #x en (-sqrt (5), sqrt (5)) #

De la condición del caso tenemos

# x ^ 2> = 3 #, asi que #x en (-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo) #

Por lo tanto:

#x en ((-oo, -sqrt (3) uu sqrt (3), oo)) nn (-sqrt (5), sqrt (5)) #

# = (-sqrt (5), -sqrt (3) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

Conjunto:

Poniendo el caso 1 y el caso 2 juntos obtenemos:

#x en (-sqrt (5), -sqrt (3) uu (-sqrt (3), -1) uu (1, sqrt (3)) uu sqrt (3), sqrt (5)) #

# = (- sqrt (5), -1) uu (1, sqrt (5)) #