¿Cómo resuelvo 2sinx = cos (x / 3)?

Responder:

Nuestras soluciones aproximadas son:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, o -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

para entero # k #.

Explicación:

# 2 sen x = cos (x / 3) #

Esta es una muy difícil.

Vamos a empezar por la configuración # y = x / 3 # asi que # x = 3y # y sustituyendo. Entonces podemos usar la fórmula de triple ángulo:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sen y - 4 sen ^ 3 y) = cos y #

Vamos a cuadrar así que escribimos todo en términos de # sin ^ 2 y #. Esto probablemente introducirá raíces extrañas.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Dejar # s = pecado ^ 2 y #. Se llaman senos cuadrados se propaga en trigonometría racional.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Esa es una ecuación cúbica con tres raíces reales, candidatas para los pecados cuadrados de # 3x. # Podríamos emplear la fórmula cúbica, pero eso solo llevará a algunas raíces cúbicas de números complejos que no son particularmente útiles. Tomemos una solución numérica:

# s 0.66035 o s 0.029196 o s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Vamos a trabajar en grados. Nuestras posibles soluciones aproximadas son:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) aprox pm 163.058 ^ circ o pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) approx pm 29.5149 ^ circ o pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) aprox pm 192.573 ^ circ o pm 732.573 ^ circ #

A ver si alguno de esos funciona. Dejar #e (x) = 2 sen x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) aprox. 0.00001 quad # esa es una solucion

#e (-163.058 ^ circ) aprox -1.17 quad # No es una solución.

Claramente a lo más uno de un #pm# pareja funcionará.

Diez más para ir.

#e (703.058 ^ circ) aprox. 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # nop

#e (29.5149 ^ circ) aprox. 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # nop

#e (569.51 ^ circ) aprox. 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # nop

#e (192.573 ^ circ) aprox -.87 quad # nop

#e (-192.573 ^ circ) aprox. 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) aprox -.87 quad # nop

#e (-732.573 ^ circ) aprox. 0.00001 quad sqrt #

El arcsin viene con una # + 360 ^ circ k #, y el factor de tres lo hace # 1080 ^ circ k. #

OK, nuestras soluciones aproximadas son:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # para entero # k #.