¿Cuál es la ecuación de la recta tangente de f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 en x = 5?

La ecuación de la línea tangente es de la forma:

# y = color (naranja) (a) x + color (violeta) (b) #

dónde #una# Es la pendiente de esta recta.

Para encontrar la pendiente de esta recta tangente a #f (x) # en el punto # x = 5 # deberíamos diferenciar #f (x) #

#f (x) # Es una función de cociente de la forma. # (u (x)) / (v (x)) #

dónde #u (x) = x-3 # y #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (azul) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (rojo) (u '(x) = 1) #

#v (x) # Es una función compuesta, así que tenemos que aplicar la regla de la cadena.

dejar #g (x) = x ^ 2 # y #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (rojo) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # entonces

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (rojo) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (rojo) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (azul) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

simplificando el factor común # x-4 # entre numerador y denominador

#color (azul) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Porque la recta tangente pasa por el punto. # x = 5 # para que podamos encontrar el valor de la pendiente #una# sustituyendo # x = 5 # en # f '(x) #

#color (naranja) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (naranja) (a = -3) #

Dada la abscisa de punto de tangencia. #color (marrón) (x = 5) # permite

encontremos su ordenada # y = f (5) #

#color (marrón) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (marrón) (y = 2) #

Teniendo las coordenadas del punto de tangencia. #color (marrón) ((5; 2)) # y la pendiente #color (naranja) (a = -3) # encontremos #color (violeta) (b) #

permite sustituir todos los valores conocidos en la ecuación de la línea tangente para encontrar el valor #color (violeta) (b) #

#color (marrón) (y) = color (naranja) (a) color (marrón) (x) + color (violeta) (b) #

# 2 = -3 (5) + color (violeta) (b) #

# 2 = -15 + color (violeta (b) #

# 17 = color (violeta) (b) #

por lo tanto, la ecuación de la línea tangente en el punto #color (marrón) ((5; 2)) # es:

# y = -3x + 17 #