El radio de un círculo inscrito en un triángulo equilátero es 2. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

Responder:

Perímetro es igual a # 12sqrt (3) #

Explicación:

Hay muchas maneras de abordar este problema.

Aqui esta uno de ellos.

El centro de un círculo inscrito en un triángulo se encuentra en la intersección de las bisectrices de sus ángulos. Para el triángulo equilátero, este es el mismo punto donde sus altitudes y medianas también se intersecan.

Cualquier mediana se divide por un punto de intersección con otras medianas en proporción #1:2#. Por lo tanto, la mediana, la altitud y el ángulo de las bisectrices de un triángulo equilátero en cuestión es igual a

#2+2+2 = 6#

Ahora podemos usar el teorema de Pitágoras para encontrar un lado de este triángulo si sabemos su altitud / mediana / ángulo bisectriz.

Si un lado es #X#, del teorema de Pitágoras

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

De esto:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

El perímetro es igual a tres de esos lados:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Responder:

Perímetro es igual a # 12sqrt (3) #

Explicación:

El método alternativo está abajo.

Supongamos que nuestro triángulo equilátero es #Delta ABC # y el centro de un círculo inscrito es # O #.

Dibuja una bisectriz mediana / altitud. #UNA# a través del punto # O # hasta que intersecte el lado #ANTES DE CRISTO# en el punto #METRO#. Obviamente, # OM = 2 #.

Considera triangulo #Delta OBM #.

Sus Correcto ya que #OM_ | _BM #.

Ángulo # / _ OBM = 30 ^ o # ya que # BO # es un ángulo bisectriz de #/_A B C#.

Lado # BM # es la mitad de lado #ANTES DE CRISTO# ya que #A.M# es una mediana

Ahora podemos encontrar #TRANSMISIÓN EXTERIOR# como una hipotenusa en un triángulo rectángulo con un ángulo agudo igual a # 30 ^ o # y el cateto opuesto a él igual a #2#. Esta hipotenusa es dos veces más larga que este cateto, es decir #4#.

Teniendo hipotenusa #TRANSMISIÓN EXTERIOR# y cateto # OM #encuentra otro cateto # BM # por el teorema de Pitágoras:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Por lo tanto,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Perímetro es

# 3 * BC = 12sqrt (3) #