Si 3x ^ 2-4x + 1 tiene ceros alfa y beta, entonces, ¿qué cuadrático tiene ceros alfa ^ 2 / beta y beta ^ 2 / alfa?

Responder:

Encontrar #alfa# y #beta# primero.

Explicación:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Los factores del lado izquierdo, por lo que tenemos

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Sin pérdida de generalidad, las raíces son. #alpha = 1 # y #beta = 1/3 #.

# alfa ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # y #(1/3)^2/1= 1/9#.

Un polinomio con coeficientes racionales que tienen estas raíces es

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Si deseamos coeficientes enteros, multiplique por 9 para obtener:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Podemos multiplicar esto si deseamos:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

NOTA: Más en general, podríamos escribir

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabeta)) x + alphabeta #

Responder:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Explicación:

Tenga en cuenta que:

# (x-alfa) (x-beta) = x ^ 2- (alfa + beta) x + alfa beta #

# (x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa) = x ^ 2- (alfa ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alfa) x + (alfa ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / alfa)#

#color (blanco) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2- (alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alpha beta) x + alpha beta #

#color (blanco) ((x-alfa ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alfa)) = x ^ 2 - ((alfa + beta) ^ 3-3 alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) x + alfa beta #

En nuestro ejemplo, dividir # 3x ^ 2-4x + 1 # por #3# tenemos:

# {(alfa + beta = 4/3), (alfa beta = 1/3):} #

Asi que:

# ((alfa + beta) ^ 3-3 alfa beta (alfa + beta)) / (alfa beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

Entonces el polinomio deseado se puede escribir:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Multiplicar por #9# para obtener coeficientes enteros:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Responder:

Solución propuesta a continuación;

Explicación:

# 3x²-4x + 1 #

Nota: #una# es alfa #segundo# es beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Para formar una ecuación encontramos la suma y los productos de las raíces.

Para la suma

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Pero; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Por lo tanto;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

De ahí sustituimos los valores.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancelar3 (1 / cancelar3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Por lo tanto, la suma es #28/9#

Para productos

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Por lo tanto, el producto es #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Multiplicando a través de #9#

¡Espero que esto ayude!