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Explicación:
Primero, debemos comenzar con una ecuación que sepamos que relaciona el área de un círculo, el conjunto y su radio:
# A = pir ^ 2 #
Sin embargo, queremos ver qué tan rápido está aumentando el área de la piscina, lo que se parece mucho a la velocidad … lo que se parece mucho a un derivado.
Si tomamos el derivado de
# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #
(No olvide que la regla de la cadena se aplica en el lado derecho, con
Por lo tanto, queremos determinar
# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #
Para poner esto en palabras, decimos que:
El área de la piscina está aumentando a un ritmo de
# bb40pi # cm# "" ^ bb2 # / min cuando el radio del circulo es# bb5 # cm.
La altitud de un triángulo aumenta a una velocidad de 1,5 cm / min, mientras que el área del triángulo aumenta a una velocidad de 5 cm cuadrados / min. ¿A qué velocidad cambia la base del triángulo cuando la altitud es de 9 cm y el área es de 81 cm cuadrados?
Este es un problema de tipo de tasas (de cambio) relacionado. Las variables de interés son a = altitud A = área y, dado que el área de un triángulo es A = 1 / 2ba, necesitamos b = base. Las tasas de cambio dadas están en unidades por minuto, por lo que la variable independiente (invisible) es t = tiempo en minutos. Nos dan: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min Y se nos pide que encontremos (db) / dt cuando a = 9 cm y A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, diferenciando con respecto a t, obtenemos: d / dt (A) = d / dt (1 / 2ba). Necesitaremos la regla del producto a la de
El agua sale de un tanque cónico invertido a una velocidad de 10,000 cm3 / min al mismo tiempo que se bombea agua al tanque a una velocidad constante Si el tanque tiene una altura de 6 m y el diámetro en la parte superior es de 4 my Si el nivel del agua aumenta a una velocidad de 20 cm / min cuando la altura del agua es de 2 m, ¿cómo encuentra la velocidad a la que se está bombeando el agua al tanque?
Sea V el volumen de agua en el tanque, en cm ^ 3; Sea h la profundidad / altura del agua, en cm; y sea r el radio de la superficie del agua (en la parte superior), en cm. Como el tanque es un cono invertido, también lo es la masa de agua. Como el tanque tiene una altura de 6 my un radio en la parte superior de 2 m, triángulos similares implican que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3, de modo que h = 3r. El volumen del cono de agua invertido es entonces V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ahora diferencie ambos lados con respecto al tiempo t (en minutos) para obtener frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {d
El derrame de petróleo de un camión cisterna roto se extiende en un círculo sobre la superficie del océano. El área del derrame aumenta a una velocidad de 9π m² / min. ¿Qué tan rápido aumenta el radio del derrame cuando el radio es de 10 m?
Dr | _ (r = 10) = 0.45m // min. Como el área de un círculo es A = pi r ^ 2, podemos tomar el diferencial de cada lado para obtener: dA = 2pirdr Por lo tanto, el radio cambia a la tasa dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Por lo tanto, dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0.45m // min.