Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) nueva pregunta ?

#una)#

Solo necesitas tomar #Psi ^ "*" Psi #.

#color (azul) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = color (azul) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix)) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#segundo)#

El período se puede encontrar con un esfuerzo mínimo, simplemente conociendo primero las energías, que son constantes del movimiento.

La energia de # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # es # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #, y la energía de # phi_2 # es # 4E_1 #. Por lo tanto, la frecuencia # omega_2 # de # phi_2 # es cuatro veces la de # phi_1 # (# omega_1 #).

Como resultado, el período # T_1 = (2pi) / (omega_1) # de # phi_1 # es cuatro veces la de # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, y es también un periodo de # phi_2 #.

El periodo es así. #color (azul) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#do)#

Te dejaré enchufar éste en ti mismo como #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. No necesitas hacer nada con eso …

Lo sabemos #T = (2pi) / (omega_1) #, y eso # (iEt) / ℏ = iomegat #, asi que

#E_n = omega_nℏ #.

Como resultado, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

y

#color (azul) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = color (azul) (1 / (12ℏ)) #

#re)#

La probabilidad de encontrar la partícula en # 0, L / 2 # se da como

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Los dos primeros términos son simétricos con la mitad de la amplitud y el rendimiento. #50%# en general.

El tercer término tendría una probabilidad de estado estacionario de # 4 / (3pi) #y # cos # Es un factor de fase arbitrario. Por lo tanto, la probabilidad global es

# = color (azul) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#mi)#

#color (azul) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

No hay una solución trivial para esto … Esto resulta ser:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = color (azul) (((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi - 8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#F)#

A #x = L / 2 #, la #pecado# los términos van a #sin (pi / 2) = 1 # y para #sin (pi) = 0 #, respectivamente.

Ya que #sin (pi) = 0 #, la parte dependiente del tiempo de #Psi ^ "*" Psi # desaparece y la parte independiente del tiempo se conserva # 1 / L # como la densidad de probabilidad.