¿Qué es una matriz ortogonal? + Ejemplo

Responder:

Esencialmente un ortogonal #n xx n # matriz representa una combinación de rotación y posible reflexión sobre el origen en #norte# espacio dimensional.

Conserva distancias entre puntos.

Explicación:

Una matriz ortogonal es aquella cuyo inverso es igual a su transposición.

Un tipico # 2 xx 2 # La matriz ortogonal sería:

#R_theta = ((cos theta, sin theta), (-sin theta, cos theta)) #

para algunos #theta en RR #

Las filas de una matriz ortogonal forman un conjunto ortogonal de vectores unitarios. Por ejemplo, # (cos theta, sin theta) # y # (- sin theta, cos theta) # Son ortogonales entre sí y de longitud. #1#. Si llamamos al vector anterior # vecA # y el último vector # vecB #, entonces:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(por lo tanto, ortogonal)

# || vecA || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2theta) = 1 #

(por lo tanto, vectores unitarios)

Las columnas también forman un conjunto ortogonal de vectores unitarios.

El determinante de una matriz ortogonal siempre será #+-1#. Si esto es #+1# entonces la matriz se llama matriz ortogonal especial.