¿Encontrar (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) sin ((A + B) / 2) usando fórmulas de adición?

Responder:

Esos son correctos excepto que (ii) está invertido. #tan (A + B) # debiera ser #4/3# como #sin (A + B) = 4/5 # y #cos (A + B) = 3/5 #.

Explicación:

Divertido. Dado #cos (A + B) = 3/5 quad y quad cos A cos B = 7/10 #

Revisemos las identidades relevantes.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B #

#sin A sen B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # opción (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1 #

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5 #

#UNA# y #SEGUNDO# son agudos, # A + B <180 ^ circ # por lo que un seno positivo:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = pecado (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # NINGUNA DE LAS ANTERIORES

Una fórmula de doble ángulo es #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # asi que

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))} #

El promedio de #UNA# y #SEGUNDO# Es agudo, por eso elegimos el signo positivo.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # opción (iii)

Uno de los tres mal, B-.

Responder:

Favor de referirse a la Sección de explicaciones.

Explicación:

Dado que #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Por lo tanto, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Respuesta." (i) #.

Dado que, # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

Añadiendo, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) en Q_1uuQ_2 #.

Pero, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) en Q_1 #.

Ahora, # sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; "pero, porque" (A + B) en Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (ii) #.

Por fin encontrar #sin ((A + B) / 2), "let", (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# "Ahora," cos2theta = 3/5 rArr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … porque, "Fórmula de adición" #

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, es decir, #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5, o, #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Ya que, # (A + B) = 2 theta # se encuentra en # Q_1, "así hace" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) #.