El triángulo A tiene un área de 12 y dos lados de longitudes 4 y 8. El triángulo B es similar al triángulo A y tiene un lado de longitud 7. ¿Cuáles son las áreas máximas y mínimas posibles del triángulo B?

Responder:

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #

Explicación:

Primero debes encontrar las longitudes de los lados para el triángulo de tamaño máximo A, cuando el lado más largo es mayor que 4 y 8 y el triángulo de tamaño mínimo, cuando 8 es el lado más largo.

Para hacer esto usa la fórmula de Heron's Area: #s = (a + b + c) / 2 # dónde #a B C# son las longitudes de los lados del triángulo:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Dejar #a = 8, b = 4 "&" c "es longitud de lado desconocido" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

Cuadrar ambos lados:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

Saque un 1/2 de cada factor:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

Simplificar:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

*Sustituir #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Usa completando el cuadrado:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

Raíz cuadrada de ambos lados:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

Sustituir # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Dado que las longitudes de los lados de los triángulos son positivas, debemos ignorar las respuestas negativas:

Longitud mínima y máxima de los lados del triángulo A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~~ 6.137, 11.06 #

Ya que El área de los triángulos es proporcional al cuadrado de las longitudes de los lados. Podemos encontrar las áreas máxima y mínima del triángulo B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36.75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9.1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~~ 4.8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #

El triángulo A tiene un área de 12 y dos lados de longitudes 3 y 8. El triángulo B es similar al triángulo A y tiene un lado de longitud 9. ¿Cuáles son las áreas máximas y mínimas posibles del triángulo B?

Área máxima posible del triángulo B = 108 Área mínima posible del triángulo B = 15.1875 Delta s A y B son similares. Para obtener el área máxima de Delta B, el lado 9 de Delta B debe corresponder al lado 3 de Delta A. Los lados están en la relación 9: 3 Por lo tanto, las áreas estarán en la relación de 9 ^ 2: 3 ^ 2 = 81: 9 Área máxima del triángulo B = (12 * 81) / 9 = 108 De manera similar, para obtener el área mínima, el lado 8 de Delta A se corresponderá con el lado 9 de Delta B. Los lados están en la relación 9: 8 y

El triángulo A tiene un área de 12 y dos lados de longitudes 3 y 8. El triángulo B es similar al triángulo A y tiene un lado de longitud 15. ¿Cuáles son las áreas máximas y mínimas posibles del triángulo B?

El área máxima posible del triángulo B es de 300 unidades cuadradas. El área mínima posible del triángulo B es de 36.99 unidades cuadradas. La zona del triángulo A es a_A = 12 Ángulo incluido entre los lados x = 8 y z = 3 es (x * z * sin Y) / 2 = a_A o (8 * 3 * sin Y) / 2 = 12:. pecado Y = 1:. / _Y = sin ^ -1 (1) = 90 ^ 0 Por lo tanto, el ángulo incluido entre los lados x = 8 y z = 3 es 90 ^ 0 Lado y = sqrt (8 ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt 73. Para máximo área en el triángulo B El lado z_1 = 15 corresponde al lado más bajo z = 3 Luego, x_1 = 15/3 * 8 = 40 y y_1 = 15/3

El triángulo A tiene un área de 12 y dos lados de longitudes 6 y 9. El triángulo B es similar al triángulo A y tiene un lado de longitud 12. ¿Cuáles son las áreas máximas y mínimas posibles del triángulo B?

El área máxima 48 y el área mínima 21.3333 ** Delta s A y B son similares. Para obtener el área máxima de Delta B, el lado 12 de Delta B debe corresponder al lado 6 de Delta A. Los lados están en la relación 12: 6 Por lo tanto, las áreas estarán en la relación de 12 ^ 2: 6 ^ 2 = 144: 36 Área máxima del triángulo B = (12 * 144) / 36 = 48 De manera similar, para obtener el área mínima, el lado 9 de Delta A se corresponderá con el lado 12 de Delta B. Los lados están en la relación 12: 9 y las áreas 144: 81 Área mínima