Empecemos con la función sin #metro#:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Esta función seguramente tiene # x = 0 # Como raíz, desde que factorizamos #X#.
Las otras raíces son soluciones de # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, pero esta parábola no tiene raíces. Esto significa que el polinomio original tiene una sola raíz.
Ahora, un polinomio. #p (x) # De grado impar siempre tiene al menos una solución, porque tienes
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # y #lim_ {x to infty} p (x) = infty #
y #p (x) # Es continuo, por lo que debe atravesar el #X# Eje en algún punto.
La respuesta viene de los siguientes dos resultados:
- Un polinomio de grado. #norte# tiene exactamente #norte# raíces complejas, pero a lo sumo #norte# raíces reales
- Dada la gráfica de #f (x) #, la gráfica de #f (x) + k # tiene la misma forma, pero se traduce verticalmente (hacia arriba si #k> 0 #, de lo contrario hacia abajo).
Entonces, comenzamos desde # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, que tiene una sola raíz real (y por lo tanto dos raíces complejas) y la transformamos a # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, lo que significa que lo traducimos hacia arriba o hacia abajo, por lo que no cambiamos el número de soluciones.
Algunos ejemplos:
Función original: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
gráfica {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Traducir arriba: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
gráfica {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Traducir hacia abajo: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
gráfica {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Como puedes ver, siempre hay una raíz.
Responder:
Vea abajo
Explicación:
Una alternativa, quizás una solución más elegante:
el derivado de tu polinomio es # 3x ^ 2-4x + 2 #, que es una parábola cóncava arriba sin raíces, y por lo tanto siempre positiva. Asi que, #F# es:
- Monotonicamente creciente
- #lim_ {x to pm infty} f (x) = pm infty #
- # "grado" (f) = 3 #
Los dos primeros puntos muestran que #F# tiene exactamente una raíz, y la tercera es que las otras dos raíces son complejas.
