¿Qué le dice la segunda prueba derivada sobre el comportamiento de f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 en estos números críticos?

Responder:

La segunda prueba derivativa implica que el número crítico (punto) # x = 4/7 # da un mínimo local para #F# mientras sin decir nada sobre la naturaleza de #F# en los números críticos (puntos) # x = 0,1 #.

Explicación:

Si #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, entonces la Regla del Producto dice

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Poniéndolo igual a cero y resolviendo para #X# implica que #F# tiene números críticos (puntos) en # x = 0,4 / 7,1 #.

Usando la Regla del Producto nuevamente da:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Ahora #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #y #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

La Segunda Prueba Derivativa por lo tanto implica que el número crítico (punto) # x = 4/7 # da un mínimo local para #F# mientras sin decir nada sobre la naturaleza de #F# en los números críticos (puntos) # x = 0,1 #.

En la actualidad, el número crítico (punto) en # x = 0 # da un máximo local para #F# (y la Primera Prueba Derivativa es lo suficientemente fuerte como para implicar esto, aunque la Segunda Prueba Derivativa no proporcionó información) y el número crítico (punto) en # x = 1 # no da un máximo local ni mínimo para #F#, pero un "punto de silla" (unidimensional).