¿Cómo puedes probar la Distribución de Poisson?

Responder:

# "Ver explicación" #

Explicación:

# "Tomamos un período de tiempo con la longitud" t ", que consta de n piezas" #

#Delta t = t / n ". Supongamos que la posibilidad de un evento exitoso" #

# "en una pieza es" p ", luego el número total de eventos en la n" #

# "las piezas de tiempo se distribuyen binomial de acuerdo con" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …, n #

# "con" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(combinaciones)" #

# "Ahora dejamos" #

# n-> oo ", entonces" p-> 0, "pero" n * p = lambda #

# "Así que sustituimos" p = lambda / n "en" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x) #

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n (n-1) (n-2) … (n-x + 1)) / (n (1-lambda / n)) ^ x #

# "para" n -> oo "lo que está entre …" -> 1 "y" #

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(límite de Euler)," #

# "así obtenemos" #

#p_x (x) = (lambda ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #