Tres enteros impares consecutivos son tales que el cuadrado del tercer entero es 345 menos que la suma de los cuadrados de los dos primeros. ¿Cómo encuentras los enteros?

Responder:

Hay dos soluciones:

#21, 23, 25#

#-17, -15, -13#

Explicación:

Si el menor entero es #norte#, entonces los otros son # n + 2 # y # n + 4 #

Interpretando la pregunta, tenemos:

# (n + 4) ^ 2 = n ^ 2 + (n + 2) ^ 2-345 #

que se expande a:

# n ^ 2 + 8n + 16 = n ^ 2 + n ^ 2 + 4n + 4 - 345 #

#color (blanco) (n ^ 2 + 8n + 16) = 2n ^ 2 + 4n-341 #

Restando # n ^ 2 + 8n + 16 # de ambos extremos encontramos:

# 0 = n ^ 2-4n-357 #

#color (blanco) (0) = n ^ 2-4n + 4-361 #

#color (blanco) (0) = (n-2) ^ 2-19 ^ 2 #

#color (blanco) (0) = ((n-2) -19) ((n-2) +19) #

#color (blanco) (0) = (n-21) (n + 17) #

Asi que:

#n = 21 "" # o # "" n = -17 #

y los tres enteros son:

#21, 23, 25#

#-17, -15, -13#

#color blanco)()#

Nota

Nota que dije menos entero para #norte# y no pequeñísimo.

Cuando se trata de enteros negativos, estos términos difieren.

Por ejemplo, el menos entero de #-17, -15, -13# es #-17#, pero el pequeñísimo es #-13#.

Tres enteros pares consecutivos son tales que el cuadrado del tercero es 76 más que el cuadrado del segundo. ¿Cómo determinas los tres enteros?

16, 18 y 20. Uno puede expresar los tres números pares consecutivos como 2x, 2x + 2 y 2x + 4. Te dan que (2x + 4) ^ 2 = (2x + 2) ^ 2 +76. La expansión de los términos cuadrados da 4x ^ 2 + 16x + 16 = 4x ^ 2 + 8x + 4 + 76. Restar 4x ^ 2 + 8x + 16 de ambos lados de la ecuación produce 8x = 64. Entonces, x = 8. Sustituyendo 8 por x en 2x, 2x + 2, y 2x + 4, se obtienen 16,18 y 20.

Tres enteros pares positivos consecutivos son tales que el producto, el segundo y el tercer entero, es veinte más que diez veces el primer entero. ¿Cuáles son estos números?

Sean los números x, x + 2 y x + 4. Luego (x + 2) (x + 4) = 10x + 20 x ^ 2 + 2x + 4x + 8 = 10x + 20 x ^ 2 + 6x + 8 = 10x + 20 x ^ 2 - 4x - 12 = 0 (x - 6) (x + 2) = 0 x = 6 y -2 Dado que el problema especifica que el número entero debe ser positivo, tenemos que los números son 6, 8 y 10. ¡Espero que esto ayude!

Conociendo la fórmula de la suma de los N enteros a) ¿cuál es la suma de los primeros N enteros cuadrados consecutivos, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Suma de los primeros N enteros consecutivos del cubo Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Para S_k (n) = suma_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Tenemos sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = suma_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 resolviendo para sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni pero sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 así que sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n