¿Cuál es la probabilidad de ganar en el siguiente juego repetido infinitamente?

Responder:

# "Respuesta D)" #

Explicación:

# "Es la única respuesta lógica, las otras son imposibles." #

# "Este es el problema de la ruina del jugador".

# "Un jugador comienza con k dólar".

# "Juega hasta que alcanza el dólar G o retrocede a 0".

#p = "posibilidad de que gane 1 dólar en un juego." #

#q = 1 - p = "posibilidad de que pierda 1 dólar en un juego".

# "Llamar" r_k "la probabilidad (probabilidad) de que se arruine".

#"Entonces nosotros tenemos"#

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "con" 1 <= k <= G-1 #

# "Podemos reescribir esta ecuación debido a p + q = 1 de la siguiente manera:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Ahora tenemos el caso" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = suma_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = suma_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Para" r_k "tenemos" #

#r_k - r_0 = suma_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Así que el jugador A comienza aquí con k = un dólar y juega hasta" #

# "se arruina o tiene un dólar + b". #

# => k = a, "y" G = a + b #

# "Así que las probabilidades de que se arruine son" #

# (G - k) / G = (a + b-a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Las probabilidades de que gane son" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Respuesta D)" #