¿Cuál es el rango de la función f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Responder:

El rango es 1, # oo #)

Explicación:

Cuando miraba este problema por primera vez, me centraba en el dominio. Tener x bajo una raíz cuadrada generalmente resulta en un dominio limitado. Esto importa porque si los puntos no existen en el dominio, ¡necesitamos asegurarnos de que no los incluyamos en el rango tampoco!

El dominio para #f (x) # es (-# oo #, -#sqrt (1/2) #)# uu #(#sqrt (1/2) #, # oo #), como # 2x ^ 2 -1 # no puede ser menor que #0# o el número resultante será imaginario.

Ahora, debemos observar el comportamiento final para ver hacia dónde se dirige la función. # oo # y -# oo # para #X#. Cuando observamos el comportamiento final, podemos ignorar detalles más pequeños que no afectan la forma general de la función. Al describir el comportamiento final, la función #g (x) # se utiliza típicamente.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

Y 'enchufar' infinito negativo y positivo

sol(-# oo #) = # 5 ^ | -oo | #

sol(# -oo #) = # oo #

sol(# oo #) = # 5 ^ | oo | #

sol(# oo #) = # oo #

#f (x) # Se dirige hacia el infinito positivo de cualquier manera

Ahora, necesitamos encontrar lo mínimo que es la función. Manten eso en mente #f (x) # No es continuo como lo demostramos en su dominio limitado.

Ya que #f (x) # es una función par (simétrica en el eje y) y # y # aumenta a medida que la magnitud de #X# lo hace, lo mínimo # y # se encontrará un valor donde #X# es el más cercano a 0. En nuestro caso, será -#sqrt (1/2) # o #sqrt (1/2) # Debido al dominio limitado. Vamos a enchufar #sqrt (1/2) # para encontrar el mínimo.

F(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

F(#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

F(#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

F(#sqrt (1/2) #) = #5^0#

F(#sqrt (1/2) #) = 1

Por lo tanto, el rango será 1, # oo #)

Responder:

1, infinito positivo)

Explicación:

Al graficar esta función (recomiendo Desmos, si no la tiene graficada) puede ver que la parte más baja de la función toca 1 en el eje y, y continúa positivamente hasta el infinito. Una forma fácil de encontrar esto sin un gráfico es ver si tiene alguna restricción en la ecuación. Como no hay raíces cuadradas de números negativos, sabemos que si establecemos el exponente en 0, podemos encontrar el valor x más bajo posible.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

# x = sqrt (1/2) #

Ahora que tenemos la restricción de dominio, podemos usar esto para la ecuación original

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Ahora hemos determinado que el valor y más bajo posible es 1, y no hay restricción en cuanto a qué tan alto pueden ir los valores y. Por lo tanto, el rango es desde 1 positivo (inclusive) hasta infinito positivo.