Sea p una matriz no singular 1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 + cdots + p ^ n = O (O denota la matriz nula), entonces p ^ -1 es?

Responder:

La respuesta es # = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Explicación:

Lo sabemos

# p ^ -1p = I #

# I + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n = O #

Multiplica ambos lados por # p ^ -1 #

# p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ….. p ^ n) = p ^ -1 * O #

# p ^ -1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + …… p ^ -1 * p ^ n = O #

# p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ……… (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O #

# p ^ -1 + (I) + (I * p) + ……… (I * p ^ (n-1)) = O #

Por lo tanto, # p ^ -1 = - (I + p + ……… p ^ (n-1)) #

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

#p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = 0 # pero #pag# Por hipótesis es no singular entonces existe # p ^ -1 # asi que

# p ^ -1 p (p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1)) = p ^ -1 + p + p ^ 2 + cdots + p ^ (n-1) = 0 #

y finalmente

# p ^ - 1 = - suma_ (k = 1) ^ (n-1) p ^ k #

También se puede resolver como

# p ^ -1 = -p (sum_ (k = 0) ^ (n-2) p ^ k) = p (p ^ (n-1) + p ^ n) = p ^ n (1-p) #