¿Cuál es la velocidad de una partícula para t = 0 to t = 10 cuya aceleración es veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Responder:

Velocidad media: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"Sra"#

Velocidad en el tiempo #t = 0 # # "s" #: #0# #"Sra"#

Velocidad en #t = 10 # # "s" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"Sra"#

Explicación:

Asumiré que te refieres al velocidad media desde #t = 0 # a #t = 10 # # "s" #.

Se nos dan los componentes de la aceleración de la partícula y se nos pide que encuentren la velocidad promedio durante la primera #10# segundos de su movimiento:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

dónde

#v_ "av" # es la magnitud de la velocidad media, y
# Deltar # es el cambio en la posición del objeto (desde #0# # "s" # a #10# # "s" #).

Por lo tanto, debemos encontrar la posición del objeto en estos dos tiempos.

Tenemos que derivar una ecuación de posición de esta ecuación de aceleración, integrándola dos veces:

Primera integracion:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (velocidad)

Segunda integracion:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (posición)

Se asume que la posición inicial está en el origen, así que conectemos #10# para # t # en la ecuación de posición:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Luego podemos dividir la ecuación de velocidad promedio en componentes:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = color (rojo) (250 # #color (rojo) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = color (azul) (250/3 # #color (azul) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = color (verde) (- 6000 # #color (verde) ("m / s" #

Usando estos componentes, podemos encontrar la magnitud del vector de velocidad promedio:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = color (púrpura) (6.01 xx 10 ^ 3 # #color (púrpura) ("m / s" #

(Aquí esta la instantáneo sección de velocidad).

Para encontrar las velocidades instantáneas en #t = 0 # y #t = 10 # # "s" #Primero vamos a conectar estos tiempos en la ecuación de velocidad previamente integrada:

#t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) hatk #

# = color (rojo) (0 # #color (rojo) ("m / s" #

#t = 10 # # "s" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

La magnitud de esta velocidad es así

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24000 "m / s") ^ 2) #

# = color (azul) (2.40 xx 10 ^ 4 # #color (azul) ("m / s" #