Responder:
No hay soluciones en # RR #.
Explicación:
En primer lugar, simplifiquemos un poco:
Como # e ^ x # y #ln (x) # son funciones inversas, # e ^ ln (x) = x # sostiene así como #ln (e ^ x) = x #. Esto significa que puede simplificar su tercer término logaritmic:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# <=> log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Tu próximo objetivo es traer todas las #Iniciar sesión# funciona en la misma base para que tenga la oportunidad de usar reglas logarítmicas en ellas y simplificarlas.
Puede cambiar la base de logaritmo de la siguiente manera:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
Usemos esta regla para cambiar la base. #8# de # log_8 # y la base #32# de # log_32 # a la base #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
Ahora, podemos calcular # log_2 (8) = 3 # y # log_2 (32) = 5 #
(En caso de que no esté claro, déjeme desglosarlo para estar seguro: # log_2 (8) = x <=> 2 ^ (log_2 (8)) = 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
Esto nos lleva a la siguiente ecuación logarítmica, más simple:
# (log_2 (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# <=> 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… multiplica ambos lados con #3#…
# <=> log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
Ahora estamos listos para usar las reglas de logaritmo:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # y #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
El objetivo es tener una sola. #Iniciar sesión# Término en el lado izquierdo. Vamos a hacerlo.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# <=> log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <=> log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
En este punto, podemos deshacernos de la # log_2 (a) # aplicando la función inversa # 2 ^ a # A ambos lados de la ecuación.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# <=> 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
Desafortunadamente, tengo que admitir que estoy atascado en este momento ya que no sé cómo resolver esta ecuación.
Sin embargo, la conspiración #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # Me dice que esta ecuación no tiene soluciones en # RR #.
gráfica {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
Espero que esto haya ayudado un poco!
