¿Qué es int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Responder:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Explicación:

Esta explicación es un poco larga, pero no pude encontrar una manera más rápida de hacerlo …

La integral es una aplicación lineal, por lo que ya puede dividir la función bajo el signo integral.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Los 2 primeros términos son funciones polinomiales, por lo que son fáciles de integrar. Te muestro como hacerlo con # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # asi que # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Haces exactamente lo mismo para # x ^ 3 #, el resultado es #255/4#.

Hallazgo #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # Es un poco largo y complicado. Primero multiplicas la fracción por #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # y luego cambias la variable: digamos #u = sqrt (x-1) #. Asi que # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # y ahora tienes que encontrar # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Para encontrarlo, necesita la fracción parcial de descomposición de la función racional. # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # con # a, b, c, d en RR #. Después del cálculo, descubrimos que # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, Lo que significa que # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # es bien conocido, es #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Finalmente, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Usted reemplaza # u # por su expresión original con #X# tener #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, cual es #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Así que finalmente, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #