Responder:
Una elipse
Explicación:
Las cónicas se pueden representar como
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
dónde #p = {x, y} # y
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Para cónicas #m_ {12} = m_ {21} # entonces #METRO# Los valores propios son siempre reales porque la matriz es simétrica.
El polinomio característico es
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
Dependiendo de sus raíces, la cónica se puede clasificar como
1) igual --- círculo
2) Mismo signo y diferentes valores absolutos --- elipse
3) Signos diferentes --- hipérbola
4) Una raíz nula --- parábola
En el presente caso tenemos
#M = ((4,0), (0,8)) #
con caracteristico polinomio
# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
con raices #{4,8}# Así que tenemos una elipse.
Al ser una elipse hay una representación canónica para ello.
# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# x_0, y_0, a, b # se puede determinar de la siguiente manera
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 para todos x en RR #
dando
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
resolviendo obtenemos
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
asi que
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv. {(X-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
