¿Cómo encuentra el área delimitada por las curvas y = -4sin (x) e y = sin (2x) en el intervalo cerrado de 0 a pi?

Responder:

Evaluar

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Área es: #8#

Explicación:

El área entre dos funciones continuas. #f (x) # y #g (x) # terminado #x en a, b # es:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Por lo tanto, debemos encontrar cuando #f (x)> g (x) #

Sean las curvas las funciones:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = pecado (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> pecado (2x) #

Sabiendo que #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Dividido por #2# lo cual es positivo:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Dividido por # sinx # Sin invertir el signo, ya que #sinx> 0 # para cada #x en (0, π) #

# -2> cos (x) #

Lo cual es imposible, ya que:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Así que la declaración inicial no puede ser cierta. Por lo tanto, #f (x) <= g (x) # para cada #x en 0, π #

La integral se calcula:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#