¿Cuál es el dominio y el rango de f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Responder:

Dominio: toda la línea real.

Distancia: #-0.0757,0.826#

Explicación:

Esta pregunta puede ser interpretada de una de dos maneras. O esperamos solo tratar con la linea real # RR #, o bien también con el resto del plano complejo. # CC #. El uso de #X# como variable implica que estamos tratando solo con la línea real, pero hay una diferencia interesante entre los dos casos que señalaré.

El dominio de #F# es la totalidad del conjunto numérico considerado menos los puntos que causan que la función se infle hasta el infinito. Esto sucede cuando el denominador # x ^ 2 + 4 = 0 #, es decir, cuando # x ^ 2 = -4 #. Esta ecuación no tiene soluciones reales, por lo que si estamos trabajando en la línea real, el dominio es el intervalo completo # (- oo, + oo) #. Si consideramos los límites infinitos de la función mediante la comparación de los términos principales en numerador y denominador, vemos que en ambos infinitos tiende a cero, y por lo tanto, si lo deseamos, podemos agregarlos a ese intervalo para cerrarla: # - oo, + oo #.

La ecuacion # x ^ 2 = -4 # Sin embargo, tiene dos soluciones complejas, #x = + - 2i #. Si consideramos el plano complejo completo, el dominio es el plano completo menos estos dos puntos: # CC # # {+ - 2i} #. Al igual que con los reales, podemos agregar en el infinito de manera similar si lo deseamos.

Para determinar el rango de #F# Necesitamos descubrir sus valores máximos y mínimos sobre su dominio. Ahora solo hablaremos en términos de los reales, ya que determinar un análogo a estos sobre el plano complejo es, en general, un tipo diferente de problema que requiere diferentes herramientas matemáticas.

Tome la primera derivada a través de la regla del cociente:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

La función #F# alcanza un extremo o un punto de inflexión cuando #f '(x) = 0 #, es decir, cuando # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Resolvemos esto mediante la fórmula cuadrática:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Así que la función tiene dos puntos tales.

Caracterizamos estos puntos al examinar sus valores en la segunda derivada de #F#, que tomamos, nuevamente a través de la regla del cociente:

#f '' (x) = ((- - 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Sabemos por nuestro primer cálculo de raíz derivada que el segundo término en el numerador es cero para estos dos puntos, ya que establecerlo en cero es la ecuación que acabamos de resolver para encontrar los números de entrada.

Entonces, teniendo en cuenta que # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (barra (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

Al determinar el signo de esta expresión, preguntamos si # 26> 6sqrt (13) #. Cuadrar ambos lados para comparar: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Asi que # 26-6sqrt (13) # es positivo (y # 26 + 6sqrt (13) # más aún).

Así que el signo de toda la expresión se reduce a la #bar (+) # delante de ella, lo que significa que # x = -3-sqrt (13) # tiene #f '' (x)> 0 # (y por lo tanto es una función mínima) y # x = -3 + sqrt (13) # tiene #f '' (x) <0 # (y por lo tanto es una función máxima). Habiendo notado que la función tiende a cero en los infinitos, ahora entendemos la forma de la función completamente.

Así que ahora para obtener el rango, debemos calcular los valores de la función en los puntos mínimo y máximo. # x = -3 + -sqrt (13) #

Recordar que #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, y entonces

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Así, sobre la línea real # RR # la función #f (x) # toma valores en el rango # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, que si evaluamos numéricamente, llega a #-0.0757,0.826#, a tres cifras significativas, obtenidas al #X# valores #-6.61# y #0.606# (3 s.f.)

Grafica la gráfica de la función como una prueba de cordura:

gráfica {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Responder:

Dominio: #x en RR #

Distancia: #f (x) en -0.075693909, + 0.825693909 color (blanco) ("xxx") # (aproximadamente)

Explicación:

Dado

#color (blanco) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Dominio

los dominio son todos los valores de #X# para cual #f (x) # se define.

Para cualquier función expresada como un polinomio dividido por un polinomio, la función se define para todos los valores de #X# donde el polinomio divisor no es igual a cero. Ya que # x ^ 2> = 0 # para todos los valores de #X#, # x ^ 2 + 4> 0 # para todos los valores de #X#; es decir #x! = 0 # para todos los valores de #X#; La función se define para todos los reales (# RR #) valores de #X#.

Distancia

los distancia Es un poco más interesante de desarrollar.

Notamos que si una función continua tiene límites, la derivada de la función en los puntos que resultan en esos límites es igual a cero.

Aunque algunos de estos pasos pueden ser triviales, trabajaremos en este proceso a partir de principios bastante básicos para los derivados.

1 Regla de Exponentes para Derivados

Si #f (x) = x ^ n # entonces # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Suma Regla para Derivados

Si #f (x) = r (x) + s (x) # entonces # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Regla del producto para derivados

Si #f (x) = g (x) * h (x) # entonces # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Regla de la cadena para derivados

Si #f (x) = p (q (x)) # entonces # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Para la funcion dada #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

notamos que esto puede ser escrito como #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Por 3 sabemos

#color (blanco) ("XXX") color (rojo) ((df (x)) / (dx)) = color (cal) ((d (x + 3)) / (dx)) * color (azul) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + color (azul) ((x + 3)) * color (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Por 1 tenemos

#color (blanco) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

y por 2

#color (blanco) ("XXX") color (cal) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = color (cal) (1) #

Por 4 tenemos

#color (blanco) ("XXX") color (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

y por 1 y 2

#color (blanco) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

o, simplificado:

#color (blanco) ("XXXXXXXX") = color (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

dándonos

#color (blanco) ("XXX") color (rojo) ((df (x)) / (dx)) = color (verde) 1 * color (azul) ((x + 4) ^ (- 1)) + color (azul) ((x + 3)) * color (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

lo cual se puede simplificar como

#color (blanco) ("XXX") color (rojo) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

Como se señaló (de regreso), esto significa que los valores límite se producirán cuando

#color (blanco) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (blanco) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

luego usando la fórmula cuadrática (mira esto, Socratic ya se está quejando de la longitud de esta respuesta)

cuando

#color (blanco) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

En lugar de prolongar la agonía, simplemente insertaremos estos valores en nuestra calculadora (u hoja de cálculo, que es como lo hago) para obtener los límites:

#color (blanco) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

y

#color (blanco) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Responder:

Una forma más sencilla de encontrar la gama. El dominio es #x en RR #. El rango es #y en -0.076, 0.826 #

Explicación:

El dominio es #x en RR # como

#AA x en RR #el denominador # x ^ 2 + 4> 0 #

Dejar # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Cruzar multiplicar

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Esta es una ecuación cuadrática en #X#

Hay soluciones si el discriminante. #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Por lo tanto, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Las soluciones de esta desigualdad son:

# y en (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y en (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y en -0.076, 0.826 #

gráfico {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}