Pregunta # 53a2b + Ejemplo

Responder:

Esta definición de distancia es invariante bajo el cambio del marco inercial, y por lo tanto tiene un significado físico.

Explicación:

El espacio Minkowski está construido para ser un espacio de 4 dimensiones con coordenadas de parámetros # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, donde solemos decir # x_0 = ct #. En el núcleo de la relatividad especial, tenemos las transformaciones de Lorentz, que son transformaciones de un marco inercial a otro que dejan invariante la velocidad de la luz. No voy a entrar en la derivación completa de las transformaciones de Lorentz, si quieres que te explique eso, solo pregúntame y entraré en más detalles.

Lo importante es lo siguiente. Cuando miramos el espacio euclidiano (el espacio en el que tenemos la definición ordinaria de longitud a la que estamos acostumbrados # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #), tenemos ciertas transformaciones; Rotaciones espaciales, traslaciones y reflejos. Si calculamos la distancia entre dos puntos en varios marcos de referencia conectados por estas transformaciones, encontramos que la distancia es la misma. Esto significa que la distancia euclidiana es invariante en estas transformaciones.

Ahora extendemos esta noción al espacio-tiempo 4-dimensional. Antes de la teoría de la relatividad especial de Einsteins, conectamos los marcos inerciales mediante transformaciones de Galilei, que simplemente reemplazaban una coordenada espacial. # x_i # por # x_i-v_it # para #iin {1,2,3} # dónde # v_i # Es la velocidad del observador en el #yo# Dirección relativa al marco original. Esta transformación no dejó invariante la velocidad de la luz, pero sí dejó la distancia inducida por el elemento de línea # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, simplemente porque no hay cambio en la coordenada de tiempo, entonces el tiempo es absoluto.

Sin embargo, la transformación de Galilei no describe con precisión la transformación de un marco de inercia a otro, porque sabemos que la velocidad de la luz es invariante en las transformaciones de coordenadas adecuadas. Por eso hemos introducido la transformación de Lorentz. La distancia euclidiana extendida al espacio-tiempo 4-dim como se hizo anteriormente no es invariante en esta transformación de Lorentz, sin embargo, la distancia inducida por # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # Es, lo que llamamos la distancia adecuada. Entonces, a pesar de que esta distancia euclidiana donde se sostiene el teorema de Pitágoras es una estructura matemática perfectamente decente en el espacio oscuro 4, no tiene ningún significado físico, ya que depende del observador.

La distancia adecuada no depende del observador, por lo tanto, podemos darle un significado físico, esto se realiza conectando la arca de una línea de mundo a través del espacio de Minkowski usando esta distancia al tiempo transcurrido observado por un objeto que viaja a lo largo de esta línea de mundo. Tenga en cuenta que si dejamos el tiempo fijo, el teorema de Pitágoras todavía se mantiene en las coordenadas espaciales.

EDITAR / EXPLICACIÓN ADICIONAL:

El autor de la pregunta original me pidió que elaborara un poco más, y escribió: "Gracias. Pero, ¿puede explicar un poco más los dos últimos párrafos? En un libro, vi que tenían # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 #. Por favor, explique "En esencia, lo que tenemos aquí es una versión bidimensional de lo que describí anteriormente. Tenemos una descripción del espacio-tiempo con una dimensión de tiempo y de espacio. En esto definimos una distancia, o más precisamente una norma (una distancia desde el origen a un punto) # s # usando la fórmula # s ^ 2 = x ^ 2 (ct) ^ 2 # dónde #X# es la coordenada espacial y # t # la coordenada temporal

Lo que hice anteriormente fue una versión tridimensional de esto, pero lo más importante es que utilicé # (ds) ^ 2 # en lugar de # s ^ 2 # (He añadido paréntesis para aclarar lo que está al cuadrado). Sin entrar demasiado en los detalles de la geometría diferencial, si tenemos una línea que conecta dos puntos en el espacio, # ds # es la longitud de una pequeña parte de la línea, un llamado elemento de línea. A través de una versión 2D de lo que escribí anteriormente, tenemos # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, que relaciona la longitud de esta pequeña pieza con el pequeño cambio en las coordenadas. Para calcular la distancia desde el origen hasta un punto. # x_0 = a, x_1 = b # en el espacio-tiempo, calculamos la longitud de una línea recta que va desde el origen hasta ese punto, esta línea se da # x_0 = a / bx_1 # dónde # x_1in 0, b #, notamos eso # dx_0 = a / bdx_1 #, asi que # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #, asi que # ds = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #, que podemos integrar, dando # s = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 = bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) #.

Por lo tanto # s ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 = x_1 ^ 2 x_0 ^ 2 = x ^ 2- (ct) ^ 2 # en # (t, x) # coordenadas

Entonces, de hecho, lo que escribí arriba da lo que lees en el libro. Sin embargo, la versión del elemento de línea le permite calcular la longitud de cualquier línea, no solo las rectas. La historia sobre la transformación de Lorentz todavía se mantiene, esta norma. # s # es invariante bajo cambio de marco de referencia, mientras que # x ^ 2 + (ct) ^ 2 # no es.

El hecho de que el teorema de Pitágoras no se sostenga no es tan sorprendente. El teorema de Pitágoras se sostiene en la geometría euclidiana. Esto significa que el espacio en el que trabajas es plano. Un ejemplo de espacios que no son planos es la superficie de una esfera. Cuando desee encontrar la distancia entre dos puntos en esta superficie, tome la longitud del camino más corto sobre esta superficie que conecta estos dos puntos. Si construyes un triángulo rectángulo en esta superficie, que se vería muy diferente de un triángulo en el espacio euclidiano, ya que las líneas no serían rectas, el teorema de Pitágoras no se sostiene en general.

Otra característica importante de la geometría euclidiana es que cuando colocas un sistema de coordenadas en este espacio, cada coordenada cumple el mismo rol. Podrías rotar los ejes y terminar con la misma geometría. En la geometría Minkowski anterior, no todas las coordenadas tienen el mismo rol, ya que los ejes de tiempo tienen un signo menos en las ecuaciones y los otros no. Si este signo menos no estuviera allí, el tiempo y el espacio tendrían un papel similar en el espacio-tiempo, o al menos en la geometría. Pero sabemos que el espacio y el tiempo no son lo mismo.