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Explicación:
Dejar # a = p / q # dónde #pag# y # q # Son enteros positivos.
# 1ltp / q # por lo tanto # qltp #. # p / qlt2 # por lo tanto # plt2q #. Por lo tanto # qltplt2q #.
# a + 1 / a = p / q + q / p = (pp) / (qp) + (qq) / (pq) = (p ^ 2 + q ^ 2) / (pq) = (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2-2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) - (2pq) / (pq) = (p + q) ^ 2 / (pq) -2 #
# (q + q) ^ 2 / (qq) lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (2q + q) ^ 2 / (2qq) #*
# (2q) ^ 2 / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (3q) ^ 2 / (2q ^ 2) #
# (4q ^ 2) / q ^ 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt (9q ^ 2) / (2q ^ 2) #
# 4lt (p + q) ^ 2 / (pq) lt9 / 2 #
# 4-2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt9 / 2-2 #
# 2lt (p + q) ^ 2 / (pq) -2lt5 / 2 #
# 2lta + 1 / alt5 / 2 #
# 5 / 2lt6 / 2 #
# 5 / 2lt3 #
# 2lta + 1 / alt3 #
~~ Más temas avanzados por delante ~~
* Esto asume que como #pag# aumenta # (p + q) ^ 2 / (pq) # aumenta Esto se puede verificar intuitivamente, mirando la gráfica de # y = (x + q) ^ 2 / (xq) # en #x en (q, 2q) # para varios valores positivos de # q #, o por el proceso de cálculo a continuación.
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# del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = 1 / qdel / (delp) (p + q) ^ 2 / p = 1 / q (pdel / (delp) (p + q) ^ 2 - (p + q) ^ 2del / (delp) p) / p ^ 2 = 1 / q (p 2 (p + q) - (p + q) ^ 2 1) / p ^ 2 = 1 / q (2p (p + q) - (p + q) ^ 2) / p ^ 2 = ((2p ^ 2 + 2pq) - (p ^ 2 + 2pq + q ^ 2)) / (p ^ 2q) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) #.
En #p en (q, 2q) #:
Ya que # pgtqgt0 #, # p ^ 2gtq ^ 2 # así # p ^ 2-q ^ 2gt0 #.
Ya que #q> 0 #, # p ^ 2qgt0 #
Ya que # p ^ 2-q ^ 2gt0 # y # p ^ 2qgt0 #, # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #
Ya que # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) = (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) # y # (p ^ 2-q ^ 2) / (p ^ 2q) gt0 #, # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) gt0 #
Por lo tanto # (p + q) ^ 2 / (pq) # esta aumentando por constante # q # y # qltplt2q # porque # del / (delp) (p + q) ^ 2 / (pq) # es positivo.
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En descripción
Explicación:
Aquí la restricción (1):
# 1 <a <2 #
Restricción (2):
Por teorema recíproco, # 1/1> 1 / a> 1/2 #
# 1> a> 1/2 #
En la restricción 1, agregue 1 en ambos lados, # 1 + 1 <a + 1 <2 + 1 #
# 2 <a + 1 <3 #
#color (rojo) (a + 1 <3) #
En la misma restricción agregar 1/2
# (1 + 1/2) <(a + 1/2) <(2 + 1/2) #
De nuevo nota que, #2 <2+1/2#
Asi que # a + 1/2 # debe ser menor que 2
#color (rojo) (a + 1/2) <2 #
Por lo tanto, en la restricción 2, # 1> a> 1/2 #
Añadir una en ambos lados, # 1 + a> a + 1 / a> 1/2 + a #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 #
Lo hicimos así porque # a + 1 <3 #
Asi que # a + 1 / a # debe ser menor que 3.
Otra vez # a + 1/2 <2 # pero en esta restricción # a + 1 / a> a + 1/2 #
Asi que, # a + 1 / a # debe ser mayor que 2.
Por lo tanto, # 1> 1 / a> 1 2 #
Añadiendo una en ambos lados, # 1 + a> a + 1 / a> a + 1/2 #
# 3> a + 1 / a> 2 #
# 2 <a + 1 / a <3 # demostrado
