La suma de cinco números es -1/4. Los números incluyen dos pares de opuestos. El cociente de dos valores es 2. El cociente de dos valores diferentes es -3/4 ¿Cuáles son los valores?

Responder:

Si la pareja cuyo cociente es #2# Es único, entonces hay cuatro posibilidades …

Explicación:

Se nos dice que los cinco números incluyen dos pares de opuestos, por lo que podemos llamarlos:

#a, -a, b, -b, c #

y sin pérdida de generalidad dejar #a> = 0 # y #b> = 0 #.

La suma de los números es #-1/4#, asi que:

# -1 / 4 = color (rojo) (cancelar (color (negro) (a))) + (color (rojo) (cancelar (color (negro) (- a)))) + color (rojo) (cancelar (color (negro) (b))) + (color (rojo) (cancelar (color (negro) (- b)))) + c = c #

Se nos dice que el cociente de dos valores es #2#.

Interpretemos esa afirmación en el sentido de que hay un par único entre los cinco números, cuyo cociente es #2#.

Tenga en cuenta que # (- a) / (- b) = a / b # y # (- b) / (- a) = b / a #. Así que para el par con cociente #2# Para ser único, debe implicar #do#.

Tenga en cuenta que #2 > 0# y #c = -1/4 <0 #. Así que el otro número debe ser uno de #-una# o #-segundo#.

Sin pérdida de generalidad, el otro número es #-una#, ya que la derivación es simétrica en #una# y #segundo#.

Así que hay dos posibilidades en esta etapa:

Caso 2: #c / (- a) = 2 #

Es decir:

# 2 = c / (- a) = (-1/4) / (- a) = 1 / (4a) #

Multiplicando ambos extremos por # a / 2 #, esto se convierte en:

#a = 1/8 #

Se nos dice que el cociente de dos números diferentes es #-3/4#

Hasta ahora hemos utilizado #-una# y #do#.

Dado que no podemos usar #do# de nuevo, y el cociente es negativo, eso da dos opciones posibles:

#a / (- b) = -3 / 4 #

# (- b) / a = -3 / 4 #

Si #a / (- b) = -3 / 4 # entonces # -b = a / (- 3/4) # y por lo tanto:

#b = a / (3/4) = (4a) / 3 = {((4 (1/2)) / 3 = 2/3 "if" a = 1/2), ((4 (1/8)) / 3 = 1/6 "si" a = 1/8):} #

Si # (- b) / a = -3 / 4 # entonces # -b = (-3/4) a # y por lo tanto:

#b = (3a) / 4 = {((3 (1/2)) / 4 = 3/8 "if" a = 1/2), ((3 (1/8)) / 4 = 3/32 "si" a = 1/8):} #

Así que las cuatro soluciones con el supuesto de "unicidad" son:

#{ 1/2, -1/2, 2/3, -2/3, -1/4 }#

#{ 1/8, -1/8, 1/6, -1/6, -1/4 }#

#{ 1/2, -1/2, 3/8, -3/8, -1/4 }#

#{ 1/8, -1/8, 3/32, -3/32, -1/4 }#