¿Qué es igual a sqrt (3 + i) en una forma + bi?

Responder:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Suponer # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Así que igualando partes reales e imaginarias obtenemos:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Por lo tanto #b = 1 / (2a) #, que podemos sustituir en la primera ecuación para obtener:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Multiplica ambos extremos por # 4a ^ 2 # Llegar:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Asi que:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

De la fórmula cuadrática obtenemos:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Ya que #sqrt (10)> 3 #, elegir la #+# firmar para obtener valores reales para #una#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

dónde #segundo# tiene el mismo signo que #una# ya que #b = 1 / (2a) #

La raíz cuadrada principal está en Q1 con #a, b> 0 #

Es decir:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

De hecho, si #c, d> 0 # entonces podemos mostrar similarmente:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) yo#