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Empezar con
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Vamos a reemplazar la secante con un coseno.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
¡Ahora tomamos el derivado wrt x en AMBOS LADOS!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
¡La derivada de una constante es cero y la derivada es lineal!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
¡Ahora usando la regla del producto solo en los dos primeros términos que obtenemos!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
¡Próximamente mucha diversión con la regla de la cadena! ¡Mira el último término!
(También haciendo los derivados x simples)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Haciendo algunos de esos derivados y, derivados xy y derivados cos (xy) también aplicando la regla del producto y la regla de la cadena una vez más en la última parte del último término.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Neaten un poco y terminamos todos los derivados.
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Ahora separe en término con # dx / dy # y sin
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Trae todo sin # dy / dx # a un lado y colección como términos en el otro
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Divide sin embargo para encontrar # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
¡Eso fue muy largo!
Explicación:
Fui con una explicación MUY larga con un ejemplo simple porque la diferenciación implícita puede ser difícil y la regla de la cadena es muy, muy importante.
Debe usar aproximadamente tres reglas de Cálculo GRANDE para resolver esta y tres funciones específicas derivadas.
1) La linealidad de la derivada.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) La regla del producto.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) Por mucho, el concepto más importante en la diferenciación implícita es
la regla de la cadena. Para funciones compuestas, funciones de otras funciones, #f (u (x)) # tenemos, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (u (x)) du / dx #.
Puedes seguir con esto
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f (u) {du} / {dy} {dy} / {dx} #, y sigue y sigue y sigue. Nota # dx / dx = 1 #.
Ejemplo: si tienes una función de una función #f (u) # dónde # u # es una función de #X#. es decir #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Aquí #f (u) = sqrt (u) # y #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # recordar # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Expresiones para tipos de funciones específicas.
A) Cómo tomar la derivada de funciones de poder, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Cómo tomar el derivado de # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- aburrido eh?
C) Cómo tomar el derivado de # cos (x) # porque # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
La clave para la diferenciación implícita es usar la regla de la cadena para tomar la derivada wrt x of y la función de x e y, como un círculo.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
