Por favor ayúdame en esto, ¿cómo hacerlo?

Responder:

#k = 3 #

Explicación:

Usando las propiedades de los exponentes que # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # y # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, tenemos

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Así #13!# es divisible por # 24 ^ k # si y solo si #13!# es divisible por # 2 ^ (3k) # y es divisible por # 3 ^ k #.

Podemos decir el mayor poder de #2# por el cual #13!# es divisible por si nos fijamos en sus factores que son divisibles por #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Como ninguno de los factores impares contribuye ningún factor de #2#, tenemos

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

dónde #metro# es un entero no divisible por #2#. Como tal, sabemos que #13!# es divisible por # 2 ^ (3k) # si y solo si #2^10# es divisible por # 2 ^ (3k) #, sentido # 3k <= 10 #. Como # k # es un entero, esto significa #k <= 3 #.

A continuación, podemos ver qué factores de #13!# son divisibles por #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Como no hay otros factores de #13!# contribuir con cualquier factor de #3#, esto significa

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

dónde #norte# es un entero no divisible por #3#. Como tal, sabemos que #3^5# es divisible por # 3 ^ k #, sentido #k <= 5 #.

El mayor entero no negativo que satisface las restricciones #k <= 3 # y #k <= 5 # es #3#, dándonos nuestra respuesta de # k = 3 #.

Una calculadora verificará que #(13!)/24^3 = 450450#, mientras que #(13!)/24^4=18768.75#