¿Resolviendo esto usando riemann integral?

Responder:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o # aprox. 1.302054638 … #

Explicación:

La identidad número uno más importante para resolver cualquier tipo de problema con un producto infinito es convertirlo en un problema de sumas infinitas:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

ÉNFASIS:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

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Pero, antes de que podamos hacer esto, primero debemos tratar con # frac {1} {n ^ 2} en la ecuación y por cierto llamemos el producto infinito L:

# L = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Ahora podemos convertir esto en una suma infinita:

# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

aplicar propiedades de logaritmo:

# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Y usando propiedades límite:

# L = exp lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

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Llamemos a la suma infinita S:

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Y ten en cuenta que

# L = exp (S) #

Ahora resolvamos tu pregunta convirtiéndola de un RIEMANN SUM a un INTEGRAL DEFINIDA:

Recordemos que la definición de una suma de Riemann es:

ÉNFASIS:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Dejar

# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * Ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Ahora deja # f (x) = ln (1 + x ^ 2) y a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Por lo tanto, b = 1 es decir.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Por lo tanto,

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

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Resolver # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

Utilice la integración por partes:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Dejar # u = ln (1 + x ^ 2) y v = 1 #

Luego, use la regla de la cadena y la derivada del logaritmo natural para obtener # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

y usa la regla de poder para obtener: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Usa la regla de resta:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Use la regla de potencia para la primera integral y la segunda integral es la función trigonométrica estándar # arctan (x) # (El inverso de la función tangente)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Así, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

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Ahora resuelva para la integral definida:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

Sabemos que el anti-derivado es # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #Por lo tanto

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

tenga en cuenta que arctan (1) es 45 ° o # frac { pi} {4} # (Recuerda el triángulo rectángulo especial con longitudes de lado 1,1, # sqrt {2} # y ángulos 45 °, 45 °, 90 °) y también # arctan (0) = 0 #

Así #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

o # aprox. 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Por lo tanto la solución es # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # o # aprox. 1.302054638 … #